Làm sao để chỉnh sửa tiêu đề bài viết của mình vậy??

Cho $a,b$ là các số thực dương, chứng minh rằng: $\sqrt{\frac{a+2b}{a^2+2b^2}}+\sqrt{\frac{b+2a}{b^2+2a^2}}\leq \sqrt{\frac{8}{a+b}}$

Cho $y^2+yz+z^2=1-\frac{3x^2}{2}$. Tìm min và max của $P=x+y+z$
(Đề thi HKII lớp 8 trường THCS NBK - Biên Hoà - Đồng Nai năm học 2015-2016)

Bài 3 : a) Cho a, b, c, d là 4 số nguyên bất kỳ. Chứng minh rằng: 
(a – b)(a – c)(a – d)(b – c)(b – d)(c – d) chia hết cho 12

Ý 1: Trong 4 số tồn tại ít nhất 2 số có cùng số dư khi chia cho 3 nên tồn tại ít nhất một trong sáu tích chia hết cho 3, suy ra: $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 3

Ý 2: G/S cả 4 số đều chẵn hoặc lẻ thì dễ thấy $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S chỉ có 1 lẻ hoặc 1 chẵn thì trong 6 tích sẽ có 3 tích chia hết cho 2, suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

G/S có 2 chẵn, 2 lẻ thì tồn tại 2 tích chia hết cho 2. suy ra $(a-b)(a-c)(a-d)(b-c)(b-d)(c-d)$ chia hết cho 4

Từ 2 ý, suy ra điều phải chứng minh.

Câu 11: $(x^2+3x+2)(x^2+7x+12)+1$

= $(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+1$
= $((x+1)(x+4))((x+2)(x+3))+1$

= $(x^2+5x+4)(x^2+5x+6)+1$

Đặt n= $x^2+5x+5$, ta có:

$(n-1)(n+1)+1$ = $n^2$ = $(x^2+5x+5)^2$

Giải dùm e pt này với : x⁴ - 3x² - 6x - 8 = 0

$x^4 - 3x^2 - 6x - 8 = 0\Leftrightarrow (x^{2}-x-4)(x^{2}+x+2)=0\Leftrightarrow x^2-x-4=0\Leftrightarrow (x-\frac{1}{2})^2=\frac{17}{4}\Leftrightarrow x=\frac{1\pm \sqrt{17}}{2}$

$x^2+x+2$ lớn hơn 0 thì chắc bạn tự CM được

Biết rằng: 1+2+3+4+...+n=$\frac{n*(n+1)}{2}$ là 1 đa thức bậc 2. Biết $1^{2}+2^{2}+3^{2}+...+n^{2}$ là 1 đa thức bậc 3. Tìm công thức tính tổng các bình phương

Xét: $A=1.2+2.3+...+n(n+1)\Leftrightarrow 3A=1.2.(3-0)+2.3.(4-1)+...+n(n+1)\left [ (n+2)-(n-1) \right ]=n(n+1)(n+2)$

$\Rightarrow$$P=1^2+2^2+...+n^2=1(2-1)+2(3-1)+...+n\left [ (n+1)-1 \right ]=\left [ 1.2+2.3+...+n(n+1) \right ]-(1+2+...+n)$

$\Rightarrow P=A-(1+2+...+n)=\frac{n(n+1)(n+2)}{3}-\frac{n(n+1)}{2}=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Khuyến mãi thêm cho bạn:

$1^3+2^3+...+n^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}=(1+2+...+n)^2$

Ớ      sao em up hình không được vậy ???

Cho em thử phát

Tìm x,y,z biết: $\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4} và x+y+z=48$  

$\frac{4x-5y}{2}=\frac{5z-3x}{3}=\frac{3y-4z}{4}==\frac{x+z-2y}{9}=\frac{48-3y}{9}=\frac{48-3y+3y-4z}{13}=\frac{48-4z}{13}=...$

Lúc này tính $x$ theo $y$, $z$ thôi bạn

Tìm x,y biết : $\frac{x}{5}=\frac{y}{3} và x^{2}-y^{2}=4$

$\frac{x}{5}=\frac{y}{3}\Rightarrow \frac{x^2}{25}=\frac{y^2}{9}=\frac{x^2-y^2}{25-3}=\frac{2}{11}$

Tới đây giải tiếp đi bạn

tính giá trị biểu thức 

 A=$\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+9}{x^{4}+3x^{2}+11}$ tại x thỏa mãn $\frac{x}{x^{2}+x+1}$ = $\frac{1}{4}$

      giúp mình với    

Ta có: $\frac{x}{x^{2}+x+1}$ = $\frac{1}{4}\Leftrightarrow x^{2}-3x+1=0$

Mà: $\frac{x^{5}-4x^{3}-3x+9}{x^{4}+3x^{2}+11}=\frac{(x^{2}-3x+1)(x^{3}+3x^{2}+4x+9)+20x}{(x^{2}-3x+1)(x^{2}+3x+11)+30x}=\frac{20x}{30x}=\frac{2}{3}$

Cho a,b,c là các số thực dương thoả: $\left\{\begin{matrix} a^{2}+ab+\frac{b^{2}}{3}=25\\ \frac{b^{2}}{3}+c^{2}=9\\ c^{2}+ca+a^{2}=16 \end{matrix}\right.$
Tính giá trị của p=ab+2bc+3ca

Đáp án đây(tạm thời)

1. Chứng minh rằng (n+1)(n+2)(n+3)...3n chia hết cho $3^{n}$ với mọi n

2. $x^{2017}+y^{2017}=2(xy)^{1008}$ Tìm maxP=xy 

3. a,b,c,d nguyên dương thỏa mãn $2a^{2}+ab+b^{2}=2c^{2}+cd+2d^{2}$ Chứng minh rằng a+b+c+d hợp số

Gợi ý + dự đoán:

1. Sử dụng phương pháp quy nạp toán học.

3. Sử dụng tính chất: $ab\vdots p$ với $a,b,p$ là các số nguyên dương và $b$ là số nguyên tố thì $a\vdots p$

Bài 1: Chứng minh rằng $x_{0}= \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}-\sqrt{6-3\sqrt{2+\sqrt{3}}}$là nghiệm của phương trình $x^{4}-16x^{2}+32=0$

ta có  $x_{0}^{2}$= $8-4\sqrt{2}$

 

Phương trình có 1 nghiệm là $x^{2}= 8-4\sqrt{2}$

vậy kết luận $x_{0}$ là nghiệm của phương trình được ko?

Mình nghĩ bạn nên bình phương thêm phát nữa rồi tính $x^{4}-16x^{2}+32$, nếu bằng $0$ thì kết luận $x_{0}$ là nghiệm của phương trình

Chứng minh rằng nếu n  là số nguyên (n>1)  thoả mãn $n^2+4$ và $n^2+16$ là số nguyên tố thì n chia hết cho 5

Giả sử $n$ không chia hết cho $5$ thì $n^2$ chia cho $5$ sẽ dư $1$ hoặc $4$

Nếu $n^2$ chia cho $5$ dư $1$ thì $n^2+4$ chia hết cho $5$ (vô lý)

Nếu $n^2$ chia cho $5$ dư $4$ thì $n^2+16$ chia hết cho $5$ (vô lý)

Vậy $n\vdots 5$

Cho tam giác nhọn ABC với góc A = $60^0$ , BC =$2\sqrt3$. Bên trong tam giác cho 13 điểm bất kì . CMR trong 13 điểm ấy luôn tìm được 2 điểm mà k/c giữa chúng không lớn hơn 1

Bài này không sử dụng Drichlet được không?

Có công thức: $2R=\frac{BC}{sinA}=4\Leftrightarrow R=2$ với R là bk đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác kẻ các đường vuông góc xuống 3 cạnh, ta được 3 tứ giác nội tiếp đường tròn đường tròn đường kính 2, nghĩa là có một tứ giác chứa ít nhất 5 điểm.

Tiếp tục kẻ các đường vuông góc từ tâm đường tròn chứa 5 điểm ấy xuống 4 cạnh, ta lại được 4 tứ giác nội tiếp đường tròn đk 1, suy ra tồn tại một tứ giác chứa ít nhất 2 điểm mà khoảng cách của chúng không quá 1. (áp dụng Dirichlet đấy) :3

Giải phương trình nghiệm nguyên dương: $x^2+(x+1)^2=y^2$

bài này có thể xài phương pháp biến đổi về phương trình Pell như bạn nntien hoặc bước nhảy Viete, nhưng cách này hơi phức tạp vì cấp 3 mới học

Mình nghĩ nên đánh STT lại từ đây đi, không ai đánh thì để mình khởi xướng cho.
1) Cho a là nghiệm của phương trình $x^2+x-1=0$. Tính $S=a+\sqrt{a^8+10a+13}$
2) Cho $x_{1},x_{2}$ là hai nghiệm của phương trình $x^2-x-1=0$. Không giải phương trình, chứng minh rằng $P(x_{1})=P(x_{2})$ với $P(x)=3x-\sqrt{33x+25}$

Ko ai giải nên mình đành giải vậy...

1)

$x^2+x-1=0\Leftrightarrow x^4=1-2x+x^2=(x^2+x-1)+2-3x=2-3x\Leftrightarrow x^8=4-12x+9x^2\Leftrightarrow x^8+10x+13=(x^2-10x+25)+8(x^2+x-1)=x^2-10x+25\Leftrightarrow S=a+\left | 5-a \right |=a+5-a=5$

(Dễ CM được $a<5$ qua định lý $Vietè$

2)

Theo định lý $Vietè$, ta có: $\left\{\begin{matrix} x_{1}+x_{2}=1\\ x_{1}x_{2}=-1 \end{matrix}\right.$

Ta có: $P(x_{1})=P(x_{2})\Leftrightarrow 3x_{1}-\sqrt{33x_{1}+25}=3x_{2}-\sqrt{33x_{2}+25}\Leftrightarrow 9(x_{1}-x_{2})^2=33(x1+x2)+50-2\sqrt{(33x_{1}+25)(33x_{2}+25)}\Leftrightarrow 9(1^2-4(-1))=33+50-2\sqrt{-33^2+25.33+25^2}\Leftrightarrow 45=83-2.19$ (hiển nhiên đúng)
Vậy ta có đpcm

Góp một bài khá là hay nha:
Chứng minh rằng với mọi $n\geq 6$ thì $a_{n}$ luôn là số chính phương với $a_{n}=1 + $ $\frac{2.6.10.....(4n-2)}{(n+5)(n+6)...(2n)}$

Có $\frac{2.6.10.....(4n-2)}{(n+5)(n+6)...(2n)}=2^n.\frac{1.3.5...(2n-1)}{(n+5)(n+6)...(2n)}=\frac{1.2.3....(2n-1)(2n)}{1.2.3...n.(n+5)(n+6)...(2n)}= (n+1)(n+2)(n+3)(n+4)$.

Vậy $a_{n}=1+(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)=(n^2+5n+5)^2$ là một số chính phương.

Kết quả thì ra đúng rồi, nhưng bạn xem lại phần chữ đỏ nha, không ổn cho lắm

Giúp mình với  nghĩ hoài chưa ra 

Gợi ý: $9(x-1)-(7x-8)=2x-1$ và $x=-(7x-8)+8(x-1)$

Từ đây đặt ẩn phụ rồi giải thôi.

chỗ này có cách khác được k?

9b+1 la so chinh phuong =>Đặt  9b+1 = x^2

                                   => 9b= (x-1)(x+1) (la tich cua hai so cach nhau 2 don vi)

                                    ma b<9 => b=7

mình chỉ nghĩ vậy thôi mong các bạn góp ý ...

Được bạn, cách bạn thuần tuý hơn cách kia, bởi đây ko phải là bài tập dạng casio nên làm như bạn chặt hơn

Ai có tài liệu về Dirichle trong hình học phẳng ko cho mình với

http://giaoan.co/gia...hinh-hoc-13232/