1.Cho $0 \leq  a,b,c \leq 1$ và $a+b+c=7$. Tìm giá trị lớn nhất : $a^2+b^2+c^2$

2.Tìm $x$ : $x^4 + \sqrt{(x^2+1999)} = 1999$

1. Từ giả thiết ta có:
$(a-1)(b-1)(c-1)-abc\leq 0\Leftrightarrow abc-(ab+bc+ca)+a+b+c-abc-1\leq 0$
$\Rightarrow 2(a+b+c)\leq 2(ab+bc+ca)+2\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\leq (a+b+c)^2-2(a+b+c)+2$
Đến đây thay số rồi tính
P/S: $a+b+c=7$ không thể xảy ra, bạn hãy sửa lại đề

= 2 b ạ !! Mình nhầm

Chứng minh : căn 2 + căn 5 là số vô tỷ  )

1) lập quy trình tính ( bằng máy sasio fx 570ES Plus ) : a)  $(1+\frac{1}{2})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}).......(1+\frac{1}{2}+.....+\frac{1}{10})$

 b) $\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+\frac{1}{3!}+...+\frac{1}{10!}$

 c) $a_1=3$ , $a_{n+1}=\frac{\sqrt{a_n^2+a_n}}{a_n^3+2}$ 

 d) Bỏ số hạt kê vào các hộp . Hộp 1 bỏ 1 hạt . Hộp 2 bỏ 3 hạt . hộp 3 bỏ 7 hạt . hộp 4 bỏ 17 hạt . Hỏi đến hộp 20 bỏ bn hạt . lập quy trình tình tổng số hạt của 20 hộp

p/s: ai có thủ thuật gì về lập quy trình chỉ em với ạ . Em k giỏi phần này lắm

2. Từ 1 đến 4^60 có bao nhiêu số chính phương 

Chứng minh $x^200+x^100+1$ chia hết cho $x^4 + x^2 + 1$

Chứng minh $A = n^3 + (n+1)^3+(n+2)^3$ chia hết cho $9$ với mọi n

a) Đặt $x^{2}=a$. Cần chứng minh: $a^{100}+a^{50} \vdots a^{2}+a+1$

Sử dụng tính chất quen thuộc: $a^{3m+1}+a^{3n+2} = a(a^{3m}-1) + a^{2}(a^{3n}-1) - (a^{2}+a+1) \vdots a^{2}+a+1$

b) $n^{3}+(n+1)^{3}+(n+2)^{3} = 3n^{3}+9n^{2}+15n+9= 3(x+1)(x^{2}+2x+3)$

Dễ thấy 1 trong 2 số $x+1$ và $x^{2}+2x$ chia hết cho 3.

Từ đó ta có đpcm.

cm $x^{200} +x^{100} + 1$  chia hết cho $x^4 + x^2 + 1$ ạ ) Có fải cm $x^{200} +x^{100}$ chia hết cho $x^4 + x^2 + 1$ đâu ạ

1.   $x^3 + y^3 + 3(x^2 + y^2) + 4(x+y) +4=0 , xy>0$

Tìm max $M = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}$

2. Cho $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} + \frac{1}{c^2} \leq 2015$

Tìm Max $P = \frac{1}{2a+b}+\frac{1}{2b+c}+\frac{1}{2c+a}$

3. Cho $x,y,z> 0$

Cm : $\sqrt{\frac{x+y}{z}} + \sqrt{\frac{z+x}{y}}+ \sqrt{\frac{y+z}{x}} \geq 3\sqrt{2}$

Cho ( O , R )  Dây cung BC  cố định . A nằm trên cung lớn BC sao cho Tam giác ABC là Tam giác nhọn . Đường cao AD ,BE CF đòng quy tại H , BE , CF kéo dài cắt (O) tạI Q , P

a) Gọi I là trung điểm của BC . C/M : Góc FDE = 2ABC VÀ FDE = FIE

b) Xác định vị trí điểm A trên cung lớn BC để chu vi DEF lớn nhất

\frac{a}{b+c} + \frac{b}{a+c} + \frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}
=> \frac{a}{b+c}+ 1 + \frac{b}{a+c} +1 +  \frac{c}{a+b}+ 1\geq \frac{9}{2}
=> (a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \geq \frac{9}{2}
=> 2(a+b+c)(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \geq 9
Đặt a+b = x ; b+c=y ; c+a = z

=> (x+y+z)\frac{1}{x} + \frac{1}{y}+ \frac{1}{z} \geq 9

Ta có : \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq  2

Nhân ra tự làm nhé )

cho  $z\geq y\geq x> 0$ Chứng minh : $y( \frac{1}{x} + \frac{1}{y} ) + \frac{1}{y}(x+z) \leq (x+z)(\frac{1}{x} + \frac{1}{z} )$

cho $0< a,b,c\leq 1$. Chứng minh : $\frac{1}{a+b+c} \geq \frac{1}{3} +(1-a)(1-b)(1-c)$

Cho a,b,c dương Chứng minh : 

$\sqrt{\frac{a}{b+c}} + \sqrt{\frac{b}{a+c}} + \sqrt{\frac{c}{a+b}} \geq 2$

Cho mình biết dấu = xảy ra khi nào vậy nhé

$BDT <=> \frac{a}{a^{2}+1} + \frac{9(a^{2}+1)}{4a} + \frac{a^{2}+1}{4a}\geq \frac{11}{2} áp  dụng  bđt  thức  cauchy  t a có : \frac{a^{2}+1}{4a} + \frac{a}{a^{2}+1} \geq \frac{1}{2} mà \frac{9(a^{2}+1)}{4a} = \frac{9}{4} (a+\frac{1}{a}) \geq \frac{9}{2} ( do cauchy  a + \frac{1}{a} ) Cộng lại ta được bđt cần c/m$

Cho a,b,c >1

Chứng minh $\frac{a^{2}}{b-1} + \frac{b^{2}}{c-1} + \frac{c^{2}}{a-1} \geq 12$

cho $a,b,c>0$ t/m $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Tìm max $ab+bc+ca$

Biết a+b+c=2 . Chứng minh  : $\frac{\sqrt{a}}{a+1} + \frac{\sqrt{b}}{a+b+1} + \frac{\sqrt{c}}{a+b+c+1} \geq \sqrt{2}$

Đã trả lời tại đây : http://diendantoanho...-2/#entry633507

Cho a,c,b là 3 số thực dương thỏa mãn ab + bc +ac +abc = 4 . Chứng minh :

$\sqrt{ab} + \sqrt{bc} + \sqrt{ac} \leq 3$

Cho a.b.c là các số dương thỏa mãn a+b+c=4 . Chứng minh :

$\sqrt[4]{a^{3}} + \sqrt[4]{b^{3}} + \sqrt[4]{c^{3}} > 2\sqrt{2}$

Ai có cách nào khác nữa k ạ

sorry mình nghĩ phức tạp quá ..........

Ah có cách nào giải dễ hiểu hơn k ạ

Cho a,b là 2 số thực dương thỏa mãn điều kiện : ab+4 $\leq$ 2b

Tìm Max : P = $\frac{ab}{a^{2}+2b^{2}}$

Đặt $\sqrt{ab}=\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}$... ta thấy TMĐK

BĐT trở thành $\sum \frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq 3$

Ta có: $\frac{2x}{\sqrt{(x+y)(z+x)}}\leq \frac{x}{y+x}+\frac{x}{z+x}$

Từ đó ta chứng minh được BĐT

Vì sao lại đặt được như thế v cậu :v

điều kiện bài toán tương đương với : tồn tại m,n,p để 
$a=\frac{2m}{n+p}, b=\frac{2n}{p+m}, c=\frac{2p}{m+n}$
đến đây chắc là dễ rồi 

K hiểu b à

Cho x>1;y>2;z>3 . Tìm min của : P = $\frac{x^{2}}{x-1} + \frac{y^{2}}{y-2} + \frac{z^{2}}{z-3}$

Dấu = xảy ra khi nào ?