Cho a,b,c>0.t/m a+b+c=3

Chứng minh:

 

$\frac{a+1}{b^{2}+1}+\frac{b+1}{c^{2}+1}+\frac{c+1}{a^{2}+1}\geq 3$ 

                                 ( hsg tỉnh Nghệ An 2016)

Áp dụng kĩ thuật AM-GM ngược ta có:

$a-\frac{a+1}{b^{2}+1}=\frac{ab^{2}-1}{b^{2}+1}\leq \frac{ab^{2}-1}{2b}=\frac{ab}{2}-\frac{1}{2b}$

$\Leftrightarrow \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq a-\frac{ab}{2}+\frac{1}{2b}$

$\Rightarrow \sum \frac{a+1}{b^{2}+1}\geq \sum a-\sum \frac{ab}{2}+\sum \frac{1}{2b}\geq 3-\frac{(a+b+c)^{2}}{6}+\frac{1}{2}.\frac{9}{a+b+c}=3$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn $(a+b)(b+c)(c+a)=1$. Chứng minh rằng:  $ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Ta có:

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-abc$

Mà $(a+b+c)(ab+bc+ca)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{(abc)^{2}}=9abc$

$\Rightarrow 1\geq (a+b+c)(ab+bc+ca)-\frac{1}{9}(a+b+c)(ab+bc+ca)$

$\Leftrightarrow \frac{81}{64}\geq (a+b+c)^{2}(ab+bc+ca)^{2}\geq 3(ab+bc+ca)^{3}$

$\Rightarrow ab+bc+ca\leq \frac{3}{4}$

Biết $\sum x^{2}=3$

Chứng minh $\sum \frac{xy}{z}\geq 3$

Ở đây

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq\frac{1}{2}$

Ai giúp mình với mình đang cần lắm

Mình cảm ơn trước nhé

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\frac{a+b}{\sqrt{a(3a+b)}+\sqrt{b(3b+a)}}\geq \frac{a+b}{\sqrt{(a+b)(3a+b+3b+a)}}=\frac{1}{2}$

Cho a,b,c là các số dương.Tìm MAX của:

$\frac{\sqrt{ab}}{a+b+2c}+\frac{\sqrt{bc}}{b+c+2a}+\frac{\sqrt{ca}}{c+a+2b}$

Khi thay $(\sqrt{a},\sqrt{b},\sqrt{c})\rightarrow (a,b,c)$ thì bài toán trên tương tự bài toán sau:

ai giải bài này đi

Bài 32. (Kyiv Mathematical Festival)

1. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=2.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}+2(a+b+c) \geqslant 6.\]

2. Cho ba số thực không âm $a,b,c$ thỏa mãn điều kiện $ab+bc+ca=3.$ Chứng minh rằng \[\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1} \geqslant \frac{3}{2}.\]

2. Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có:

$\sum \frac{(ab)^{2}}{abc+ab}\geq \frac{(ab+bc+ca)^{2}}{3abc+ab+bc+ca}=\frac{3}{abc+1}\geq \frac{3}{2}$(vì $abc\leq 1$ theo AM-GM)

Dấu = xảy ra khi $a=b=c=1$

1. Tương tự câu 2 ta chứng minh được:

$\sum \frac{ab}{c+1}\geq 6-2\sqrt{6}$

Mà $2(a+b+c)\geq 2\sqrt{3(ab+bc+ca)}=2\sqrt{6}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên ta có đpcm

Bài 6 (Hong Kong TST). Cho ba số thực dương $a,\,b,\,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Tìm giá trị nhỏ nhất của

$$\frac{a^3+8}{a^3(b+c)}+\frac{b^3+8}{b^3(a+c)}+\frac{c^3+8}{c^3(b+a)}.$$

Không biết giải bài ở đây có vi phạm không anh nhỉ  
$VT=\sum \frac{a^3+1+1+6}{a^3(b+c)} \ge \sum \frac{3a+6}{a^3(b+c)}=\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)}$ 
Ta sẽ chứng minh $\sum \frac{3(a+2)}{a^3(b+c)} \ge \frac{27}{2}$ (*)
Chợt nhận thấy bài toán quen thuộc của IMO 1995  
Nếu $abc=1$ thì $\sum \frac{1}{a^3(b+c)} \ge \frac{3}{2}$ 
Áp dụng suy ra $\frac{6}{a^3(b+c)} \ge 9$ 
Lại có $\sum \frac{3}{a^2(b+c)}=\sum \frac{3(bc)^2}{b+c} \ge \frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a}$ (1) 
Lại có $(\sum ab)^2 \ge 3.abc(a+b+c)$ nên từ (1) suy ra $\frac{3(\sum ab)^2}{2\sum a} \ge \frac{9}{2}$ 
Cộng lại suy ra (*) được chứng minh 
Vậy giá trị nhỏ nhất là $\frac{27}{2}$ khi và chỉ khi $a=b=c=1$

Cách khác

Bài 8 (Selection Of Kiev To UMO). Với $a,\,b,\,c$ là ba số thực dương thỏa mãn $a+b+c=3.$ Chứng minh rằng

\[\frac{a^2}{a+b^2}+\frac{b^2}{b+c^2}+\frac{c^2}{c+a^2} \geqslant \frac{3}{2}.\]

Áp dụng AM-GM ta có:

$a-\frac{a^{2}}{a+b^{2}}=\frac{ab^{2}}{a+b^{2}}\leq \frac{ab^{2}}{2b\sqrt{a}}=\frac{b\sqrt{a}}{2}$

Tương tự cộng lại ta được:

$\sum \frac{a}{a+b^{2}}\geq 3-\frac{1}{2}(b\sqrt{a}+c\sqrt{b}+a\sqrt{c})\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c)(ab+bc+ca)}\geq 3-\frac{1}{2}.\sqrt{(a+b+c).\frac{(a+b+c)^{2}}{3}}=3-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Dấu = xảy ra$\Leftrightarrow a=b=c=1$

Bài 3 (Korea Winter Program Practice Test). Cho ba số thực không âm $x,\,y,\,z$ thỏa mãn

\[(x+y-1)^2+(y+z-1)^2+(z+x-1)^2=27.\]
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $x^4+y^4+z^4.$

Bài này đề gốc là tìm cả min cả max chứ anh?

8/     $\sqrt{3x^{2}+6x+7}+\sqrt{5x^{2}+10x+14}=4-2x-x^{2}$

$VT=\sqrt{3(x+1)^{2}+4}+\sqrt{5(x+1)^{2}+9}\geq \sqrt{4}+\sqrt{9}=5$

$VP=5-(x+1)^{2}\leq 5$

$VT=VP\Leftrightarrow x=-1$

Bài 445: 1) $x^3-6=\sqrt[3]{x+6}$

2)$\sqrt{5-x}-\sqrt{3x+1}=8x^2+16x-24$

3)$\sqrt{2x-1}-\sqrt{5x-2}=(5x-2)^3-(2x-1)^3$

4)$\sqrt[3]{x^2+1}+\sqrt[5]{2x^2+2}=\sqrt[3]{x+2}+\sqrt[5]{x+3}$

5)$x+\sqrt{2x}=\frac{1}{x}+\sqrt{x+\frac{1}{x}}$

1, Đặt $\sqrt[3]{x+6}=t$

Ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &t^{3}=x+6 \\ &x^{3}=t+6 \end{matrix}\right.$

Trừ 2 pt trên vế theo vế ta được:

$(t-x)(t^{2}+tx+x^{2}+1)=0$

$\Leftrightarrow t=x$

...

2, ĐK: $\frac{-1}{3}\leq x\leq 5$

Pt$\Leftrightarrow \frac{x-1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{3x+1}}+2(x-1)(x+3)=0$

$\Leftrightarrow (x-1)\left ( \frac{1}{\sqrt{5-x}+\sqrt{3x+1}}+2(x+3) \right )=0$

$\Leftrightarrow x=1$(vì phần trong ngoặc luôn dương)

Các bài 3,4,5 đều là các bài tương tự như bài 2

Bài 499: $\left\{\begin{matrix} &x(y-9)+\sqrt{y-1}+1=0 \\ &y(18x^{2}+1)=3x+22+(x+1)^{2} \end{matrix}\right.$

Bài 500: $\left\{\begin{matrix} &(x-2y)\left ( 3x+8y+4\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-6 \\ &(y-4x)\left ( 3y+2x+2\sqrt{x^{2}-4xy+4y^{2}-16} \right )=-10 \end{matrix}\right.$

Bài 483: Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} &\dfrac{2x^{2}+4y^{2}}{xy}=4\sqrt{(\dfrac{2}{y}-\dfrac{3}{x})(x+y)}-1 \\ &\sqrt{(x+1)^{2}+xy+3x+2y+5-2x\sqrt{x(y+3)}}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3} \end{matrix}\right.$

Một lời giải khác...

Phương trình (1) tương đương:

$2x^{2}+xy+4y^{2}=4\sqrt{xy(2x-3y)(x+y)}$

$\Leftrightarrow (4y^{2}+4xy)+(2x^{2}-3xy)=2\sqrt{(2x^{2}-3xy)(4xy+4y^{2})}$

$\Leftrightarrow 2x^{2}-3xy=4y^{2}+4xy$

$\Leftrightarrow x=4y$ hoặc $y=-2x$(1)

Phương trình (2) tương đương:

$\sqrt{x^{2}-2x\sqrt{x(y+3)}+x(y+3)+2(x+y+3)}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}$

$\Leftrightarrow \sqrt{\left ( x-\sqrt{x(y+3)} \right )^{2}+2(x+y+3)}=\sqrt{x}+\sqrt{y+3}\geq \sqrt{2(x+y+3)}$

$\Rightarrow x+y+3+2\sqrt{x(y+3)}\geq 2(x+y+3)$

$\Leftrightarrow (\sqrt{x}-\sqrt{y+3})^{2}\leq 0$

$\Leftrightarrow x=y+3$(2)

Từ (1) và (2) ta giải được: $x=4, y=1$

Bài 462: Giải phương trình:

$\sqrt[4]{x^{4}+1}=\sqrt{x^{2}+3x+1}+\sqrt{2x+10}$

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

 

Bài 230: $\left\{\begin{matrix} &x^{2015}+xy^{2014}=y^{4030}+y^{2016} \\ &7y^{4}+13x+8=2y^{4}.\sqrt[3]{x(3x^{2}+3y^{2}-1)} \end{matrix}\right.$

 

P/s: Những bài có đáp án sẽ được tô màu đỏ.

+) $y=0$ không là nghiệm của hệ

+) $y\neq 0$, chia cả 2 vế của pt(1) cho $y^{2015}$ ta có:

$\left ( \frac{x}{y} \right )^{2015}+\frac{x}{y}=y^{2015}+y$

$\Leftrightarrow \frac{x}{y}=y\Leftrightarrow x=y^{2}$

Thay $x=y^{2}$ vào pt(2) ta có:

$7x^{2}+13x+8=2x^{2}\sqrt[3]{x(3x^{2}+3x-1)}$

+) $x=0$ không là nghiệm của pt

+) $x\neq 0$, chia cả 2 vế của pt cho $x^{3}$ ta được:

$\frac{7}{x}+\frac{13}{x^{2}}+\frac{8}{x^{3}}=2\sqrt[3]{3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^{2}}}$

Đặt $a=\frac{1}{x}$

$\Rightarrow 8a^{3}+13a^{2}+7a=2\sqrt[3]{3+3a-a^{2}}$

Đặt $b=\sqrt[3]{3+3a-a^{2}}$

Khi đó ta có hệ: $\left\{\begin{matrix} &8a^{3}+13a^{2}+7a=2b \\ &-a^{2}+3a+3=b^{3} \end{matrix}\right.$

Cộng vế theo vế 2 pt trên ta được:

$(2a+1)^{3}+2(2a+1)=b^{3}+2b$

...

Bài 429: $\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}+\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}+\left ( \sqrt{\sqrt{x^{2}-8x+7}-\sqrt{x^{2}-8x-9}} \right )^{x}=2^{x+1}$

Bài 430: $\left\{\begin{matrix} &x+y+xy=z^{2^{2003}}+2z^{2^{2002}} & \\ &x^{4}+y^{4}=2z^{2^{2004}} & \\ &(x+y)^{z-1}=(z+2004)^{x-y} & \end{matrix}\right.$

Bài 355: $x^{3}+3x^{2}-4x+1=(x^{2}+3)\sqrt{x^{2}-x+1}$(Đề thi THPT chuyên Hùng Vương 2016)

Bài 356: $(2x+4)\sqrt{5-x^{2}}+(x-1)\sqrt{5+x^{2}}\leq 7x+5$(Đề thi THPT Trung Giã 2016)

Bài 357: $\left\{\begin{matrix} &(x+2)(x-y^{2}+1)+\sqrt{(x+1)(y^{2}+1)}=2y^{2}+3 \\ &5y^{2}+22=3\sqrt{x^{2}+8y^{2}}+\dfrac{18}{x+\sqrt{x^{2}-1}} \end{matrix}\right.$(Thi thử Toanhoc247 2016)

Bài 358: $\left\{\begin{matrix} &(x+y)(x^{2}+12y^{2}+x(y+1)+3)=12y^{2}-2y+5 \\ &5x+5+2(y-2)\sqrt{x^{2}+3}=y^{3}-4y^{2}+5y+\sqrt[3]{x^{2}+2y^{2}-4y+7} \end{matrix}\right.$(Thi thử Vinastudy lần 1 2016)

Bài 66: $(x^{2}-x)\sqrt{2x+1}\leq x^{3}-2x-1$ (trích bài của bạn nguyenhien2000)

ĐK: $x\geq \frac{-1}{2}$

Đặt $\sqrt{x+\frac{1}{2}}=t$

Khi đó ta có:

$(x^{2}-x)t\leq x^{3}-t^{2} \Leftrightarrow (x^{2}+t)(x-t)\geq 0$

Mà $x^{2}+t> 0$ nên $x\geq t$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} &x\geq 0 \\ &x^{2}-2x-1\geq 0 \end{matrix}\right.$

$\Leftrightarrow x\geq 1+\sqrt{2}$

Bài 20: Giải phương trình:

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 31: $3x^{3}-6x^{2}-3x-17=3\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

Pt$\Leftrightarrow (3x-3)^{3}+27(3x-3)=9(-3x^{2}+21x+5)+27\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

$\Rightarrow 3x-3=\sqrt[3]{9(-3x^{2}+21x+5)}$

$\Leftrightarrow 3x^{3}-6x^{2}-12x-8=0$

...

Đây là những bài tập chưa có lời giải trong Topic về phương trình và hệ phương trình, mong các bạn sớm hoàn thiện những bài tập này trước khi đăng bài mới để tránh loãng topic

Bài 133: $\left\{\begin{matrix} &x^{5}-y^{4}+2x^{2}y=2 \\ &y^{5}-x^{4}+2xy^{2}=2 \end{matrix}\right.$

Lấy 2 pt trừ cho nhau ta dc:

$(x^{5}-y^{5})+(x^{4}-y^{4})+2xy(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4})+(x-y)(x^{3}+xy^{2}+x^{2}y+y^{3})+2xy(x-y)=0$

$\Leftrightarrow (x-y)(x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}+x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}+2xy)=0$

TH1: $x=y$

Thay vào ta dc:

$x^{5}-x^{4}+2x^{3}=2$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^{4}+2x^{2}+2x+2)=0 \Rightarrow x=y=1$

TH2: $x^{4}+x^{3}y+x^{2}y^{2}+xy^{3}+y^{4}+x^{3}+x^{2}y+xy^{2}+y^{3}+2xy=0$

Ai giải quyết được TH này ko?

Bài 326: $\begin{cases} & x+\sqrt{x(x^{2}-3x+3)}=\sqrt[3]{y+2}+\sqrt{y+3}+1 \\ & 3\sqrt{x-1}-\sqrt{x^{2}-6x+6}= \sqrt[3]{y+2}+1 \end{cases}$

Câu 179: Giải PT: $\sqrt{\sqrt{3}-x}=x\sqrt{\sqrt{3}+x}$

ĐK: $-\sqrt{3}\leq x\leq \sqrt{3}$

Pt$\Rightarrow \sqrt{3}-x=x^{2}(\sqrt{3}+x)$

$\Leftrightarrow x^{3}+\sqrt{3}x^{2}+x-\sqrt{3}=0$

$\Leftrightarrow (x+\frac{1}{\sqrt{3}})^{3}=\frac{10\sqrt{3}}{9}$

$\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{10\sqrt{3}}{9}}-\frac{1}{\sqrt{3}}$(TM)

Bài 386: $\left\{\begin{matrix} &x-2\sqrt{x^{2}-2x+4}=y+1-2\sqrt{y^{2}+3} \\ &\sqrt{4x^{2}+x+6}-5\sqrt{y+2}=\sqrt{xy-2y-x+2}-1-2y-\left | x-2 \right | \end{matrix}\right.$

Lời giải đầy đủ đây các bạn tham khảo