Giải thử bài 1.

ĐK: ...

$\left( 1 \right) \Leftrightarrow \left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 2xy} \right]\left( {x + y} \right) + 8xy = 16\left( {x + y} \right) \Leftrightarrow {\left( {x + y} \right)^3} - 16\left( {x + y} \right) - 2xy\left( {x + y} \right) + 8xy = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left[ {{{\left( {x + y} \right)}^2} - 16} \right] - 2xy\left( {x + y - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y} \right)\left( {x + y - 4} \right)\left( {x + y + 4} \right) - 2xy\left( {x + y - 4} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left( {x + y - 4} \right)\left[ {\left( {x + y} \right)\left( {x + y + 4} \right) - 2xy} \right] = 0 \Leftrightarrow \left( {x + y - 4} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + 4x + 4y} \right) = 0$

$ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x + y - 4 = 0\\
{x^2} + {y^2} + 4x + 4y = 0
\end{array} \right.$ ............

Thay vào (2) là OK.

em thay vào mà không giải đc tiếp. Anh giúp em với

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh a. Lấy M, N, P lần lượt là trung điểm của AD, AB, B'C'. Xác định và tính độ dài khoảng cách giữa MN và BP

Em mới học về định thức, mấy anh chị cho em hỏi chút ạ

1. Trong các địn thức cấp n, xác định dấu của

a) tích các phàn tử nằm trên đường chéo chính

b)  tích các phàn tử nằm trên đường chéo phụ

 

2.ĐỊnh thức cấp n sẽ thay đổi thế nào nếu

a) đổi dấu tất cả các phần tử của nó

b) viết các cột theo thứ tự ngược lại

 

3.Tìm GTLN của các định thức cấp 3 chỉ chứa các phần tử

a) 0 và 1

b) 1 và -1

 

 

Anh chị giải thích rõ giuó em nha, em cảm ơn ạ 

 

Em có cách khác không cần dùng đạo hàm (Vì em mới học lớp 10 mà!)
$P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b}\$
Ta có
$\dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} = \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}}\$
Do$a,b,c \in \left[ {1;2} \right]\$nên$\dfrac{1}{c} \le 1,\dfrac{1}{a} \ge \dfrac{1}{2}\$
$\dfrac{1}{c} - \dfrac{1}{a} \le \dfrac{1}{2} \leftrightarrow 2(a - c) \le ac \leftrightarrow 2b(a - c) \le abc\$
$\leftrightarrow a(b - c) + b(a - c) + c(b - a) \le abc\$
Lại có $(b - c)^2 \le (b - c)......\$
$\to a(b - c)^2 + b(a - c)^2 + c(b - a)^2 \le abc\$
$\leftrightarrow \dfrac{{a(b^2 + c^2 ) + b(c^2 + a^2 ) + c(a^2 + b^2 )}}{{abc}} \le 7\$
$\leftrightarrow \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 7\$
$\leftrightarrow P = (a + b + c)(\dfrac{1}{a} + \dfrac{1}{b} + \dfrac{1}{c}) = 3 + \dfrac{a}{b} + \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{a} + \dfrac{b}{c} + \dfrac{c}{a} + \dfrac{c}{b} \le 10\$
Vậy MaxP=10 (2 số bằng 1, 1 số bằng 2) hoặc (2 số bằng 2, 1 số bằng 1)
Nhớ thanks em nha!

Giải các hệ sau
$\left\{\begin{matrix}
x^{4}-4x^{2}+y^{2}-6x+9=0 & & \\
x^{2}y+x^{2}+2y-22=0& &
\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix}
4x^{2}y-2y+3x^{2}=0 & & \\
y^{2}+x^{2}y+20=0& &
\end{matrix}\right.$

$cho\ a,b,c\ > 1\ thỏa\ mãn\ a+b+c=abc\ CMR\\
\frac{b-2}{a^{2}}+\frac{c-2}{b^{2}} + \frac{a-2}{c^{2}}\geq \sqrt{3}-2$

Gpt
$\sqrt{x^{2}+x-6}+3\sqrt{x-1}=\sqrt{3x^{2}-6x+19}$

Mọi người giúp em bài này với:
Cho a, b, c là 3 số thực dương. Tìm max của
$\frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}+1}-\frac{2}{\left ( a+1 \right )\left ( b+1 \right )\left ( c+1 \right )}$

$Cho\ x,y,z > 0. CMR\\ \frac{x^{2}+y^{2}}{x+y}+\frac{y^{2}+z^{2}}{y+z}+\frac{z^{2}+x^{2}}{z+x}\leq 3\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{x+y+z}$

Cho x,y,z là ba số thực dương thỏa: xy+yz+zx=xyz.Chứng minh :
$\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\leq \frac{1}{4}$

Từ giả thiết suy ra
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=1\\
Ta\ có\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{2x+y+z}\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+2y+z}\\
\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{z}\geq \frac{16}{x+y+2z}\\
Cộng\ theo\ từng\ vế\ ta\ được\\
4\left (\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z} \right )\geq \frac{16}{x+y+2z}+\frac{16}{x+2y+z}+\frac{16}{x+y+2z}\\
\Leftrightarrow\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{2y+z+x}+\frac{1}{2z+x+y}\leq \frac{1}{4}$

Cho a, b, c là các số dương. CMR

$\frac{a^{2}+b^{2}+c^{2}}{ab+bc+ca}+\frac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}\geq 2$

Gợi ý : Nhân chéo 2 vế của 2 pt trong hệ 

rõ hơn đi bạn

 Nhận xét : y = 0 không thỏa hệ . Nhân hai vế pt 1 cho 2y và pt 2 cho 3 , rồi trừ vế theo vế hai pt nhận được ta rút được y theo x . Thay y theo x vào pt 1 ( đừng thay vào pt 2 nhé ban !   ) , giải phương trình nhận được tìm x = -1 , suy ra y = 1 .  

Hệ có nghiệm duy nhất ( x = -1 , y = 1 )

nhưng nó ra pt bậc 9 ẩn x cơ, to quá mà chắc j pt đấy có đúng 1 nghiệm là -1 

Cho a, b, c là các số không âm thỏa mãn
$a^{2}+b^{2}+c^{2}=1$
CMR
$\frac{c}{1+ab}+\frac{b}{1+ac}+\frac{a}{1+bc}\geq 1$

Bài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản

Phần cuối phải như thế này chứ anh
$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} \le \sqrt {2(\dfrac{1}{{1 + x^2 }} + \dfrac{1}{{1 + y^2 }})} \$
Nhưng dù sao em cung cảm ơn anh!

Đạo hàm sai rồi anh Trường Giang $f'(x)=\dfrac{-x}{\sqrt{(x^2+1)^3}}<0,\forall x>0$
-----------------------------------------------------------------------------
Bài này giải như sau:
Thay $(x;y;z)$ bởi $\left(\dfrac{1}{x};\dfrac{1}{y};\dfrac{1}{z} \right)$,ta thu đc BĐT sau:
$\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}+\dfrac{y}{\sqrt{1+y^2}}+\dfrac{z}{\sqrt{1+z^2}} \le \dfrac{3}{\sqrt{2}}$(với $xyz=1$)
ta có hàm số $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}}$ là hàm lõm trên $(0;+ \infty)$ nên theo BĐT Jensen,ta có:
$VT=f(x)+f(y)+f(z) \le 3f\left(\sqrt[3]{xyz} \right)=3f(1)=\dfrac{3}{\sqrt{2}}=VP(Q.E.D)$
Đẳng thức xảy ra khi $x=y=z=1$

Em mới học lớp 10 nen không hiểu. Anh có thể làm cách khác giúp em dược không? Thanks anh trước

Bài này cũng khá quen thuộc.
Giải quyết nó theo 2 bước:
Bước 1: Giả sử$ z \ge 1$ thì $xy \le 1$
Ta có đánh giá quen thuộc sau:
$\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \le \dfrac{2}{1+xy}, \textup{ khi } xy \le 1$
ngược nếu $xy \ge 1$ thì $\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2} \ge \dfrac{2}{1+xy},$
Thậy vậy: ta có đẳng thức:
$\dfrac{2}{1+xy} - \dfrac{1}{1+x^2} - \dfrac{1}{1+y^2} = \dfrac{(x-y)^2(1-xy)}{(1+xy)(1+x^2)(1+y^2)}$
Do đó: $\dfrac{1}{\sqrt{1+x^2}} + \dfrac{1}{\sqrt{1+y^2}} \le \sqrt{\dfrac{1}{1+x^2} + \dfrac{1}{1+y^2}} \le \dfrac{2}{\sqrt{1+xy}} $
Bước 2: thay $xy = \dfrac{1}{z}$ và việc còn lại thật là đơn giản

Em làm đến đoạn cuối như anh bảo nhưng thay xy=z rồi làm như thế nào nữa hả anh

Cho x, y, z la 3 số thực dương thỏa mãn: xyz=1. Cmr

$\dfrac{1}{{\sqrt {1 + x^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + y^2 } }} + \dfrac{1}{{\sqrt {1 + z^2 } }} \le \dfrac{3}{{\sqrt 2 }}\$

Cho $ x\geq-1 $.CMR
a) $(1+x)^{r}\geq1+rx$ với $\ r\geq1$
b) $(1+x)^{r}\leq1+rx$ với $\ 0\leq r \leq1$
--------------------------------------
MOD: bạn nên đặt tiêu đề là một phần nội dung bài toán bằng $\LaTeX$

$Cho\ a, b, c \geq0\ thoả\ mãn\ a+b+c=3. CMR\
ab+bc+ca+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a\leq6$

Có $ab+bc+ca+a^{2}b+b^{2}c+c^{2}a$
Áp dụng AM_GM được:
$\leq ab+bc+ca+a^{3}+b^{3}+c^{3}$
$=ab+bc+ca+(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-(ab+bc+ca))+3abc$
$=3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2(ab+bc+ca)+(a+b+c)abc$
$\leq 3(a+b+c)^{2}-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3}$
$=27-8(ab+bc+ca)+\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca)^{2}-24(ab+bc+ca)+81}{3} $
$=\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$
$\leq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$

Phải như này mà
$=\dfrac{(ab+bc+ca-12)^{2}}{3}-21$
$\geq\dfrac{(\dfrac{(a+b+c)^{2}}{3}-12)^{2}}{3}-21=6$

Cho a, b, c là 3 số không âm thoả mãn $ab + bc + ca = \dfrac{1}{3}$. CMR
$\dfrac{1}{{a^2 - bc + 1}} + \dfrac{1}{{b^2 - ac + 1}} + \dfrac{1}{{c^2 - ab + 1}} \le 3$

Cho x, y, z là các số thực dương thoả mãn x+y+z=1. Tìm min của
$\sqrt{\frac{xy}{xy+z}}+\sqrt{\frac{yz}{yz+x}}+\sqrt{\frac{zx}{zx+y}}$

Nếu chuyển qua giới hạn,ta sẽ thấy bài này có GTNN là 0 khi $x,y \to 0;z \to 1$.

Em xin lỗi. E sửa lại đề rồi