Ta có: 

$P=x(1-x^{2})\Rightarrow P^{2}=x^{2}(1-x^{2})^{2}$

$P^{2}=\frac{1}{2}2x^{2}(1-x^{2})(1-x^{2})\leq \frac{1}{2}\frac{(2)^{3}}{27}=\frac{4}{27}$

$\Rightarrow P\leq \frac{2}{3\sqrt{3}}$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=\sqrt{\frac{1}{3}}; y=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Vậy P_max=$\frac{2}{3\sqrt{3}}$

Mình bổ sung thêm bài toán mới

Bài 10:Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}\geq \frac{1}{3}$

Bài 1:Biến đổi tương đương ta có $\frac{1}{2}(x-y)(x-z)(y-z)[(x+y)^{2}+(y+z)^{2}+(z+x)^{2}]\geq 0$(luôn đúng)

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z$

Xin đề xuất bài toán tiếp theo:

Bài 3:Cho $a,b,c>0$.Chứng minh $\sum \frac{a^{3}+b^{3}}{2ab}\geq a+b+c$

Nhân tiện cho chúc mừng sinh nhật VMF ké nhé 

Gợi ý:Chứng minh bất đẳng thức sau $\frac{1}{4+a-ab}+\frac{1}{4+b-bc}+\frac{1}{4+c-ac}\geq \frac{3}{3+abc}$

Không cần phức tạp thế đâu bạn tôi ơi 

$\sum \frac{1}{4+a-ab}=\sum \frac{1}{4+a(1-b)}$

Do $(a,b,c)\epsilon [1;2]\Rightarrow \frac{3}{2}\leq \sum \frac{1}{4+a(1-b)}\leq \frac{3}{4}$

Dấu ''='' của Max xảy ra tại $a=b=c=2$

Dấu ''='' của Min là $a=b=c=1$ 

Có bài này cũng hay mà đơn giản nè:

Bài 14:Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $ab+bc+ca=3$.Chứng  minh rằng $a^3+b^3+c^3+6abc \geq 9$

P/s:Góp ý chút,bài nào giải rồi nên tô đỏ để mọi người biết là đã được giải

Muốn hỏi mấy bài này

Bài 19: Cho $a,b,c \geq 1$.Tìm Max:$A=a+b+c+ab+bc+ca-3abc$

Bài 20: Cho $a,b,c \geq 1$.Tìm Max $\sum \frac{1}{ab+a+1}$

Bài 36. Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a.b.c = 1

Tìm Max của $\frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} + \frac{b}{a^{2} + c^{2} + b} + \frac{c}{a^{2} + b^{2} + c}$

$\sum \frac{a}{b^{2} + c^{2} + a} =\sum \frac{a^3}{b^{6} + c^{6} + a^3} \leq \sum \frac{a^{3}}{bc(b^4+c^4)+a^4bc}=\sum \frac{a^{3}}{\frac{b^4+c^4}{a}+a^3}=\sum \frac{a^{4}}{a^4+b^4+c^4}=1$

DBXR khi $a=b=c=1$

Bài 40: Cho $x,y>0$ thỏa mãn $\sqrt{\frac{2x}{y}}(2xy-1)=2xy+1$.Tìm Min:$2x+\frac{1}{y}$

Bài 41: Cho $a,b,c,d>0$ thỏa mãn $(a+b)(c+d)\geq 4abcd$.Chứng minh $\frac{1}{ab(c+1)}+\frac{1}{bc(d+1)}+\frac{1}{cd(a+1)}+\frac{1}{ad(b+1)}\geq \frac{32}{(a+1)(b+1)(c+1)(d+1)}$

Giúp mình  bài này:

Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $a+b+c=1$ . Chứng minh rằng :
$\dfrac{b\sqrt{c}}{a\left (\sqrt{3c}+\sqrt{ab}\right )}+\dfrac{c\sqrt{a}}{b\left (\sqrt{3a}+\sqrt{bc}\right )}+\dfrac{a\sqrt{b}}{c\left (\sqrt{3b}+\sqrt{ca}\right )}\ge \dfrac{3\sqrt{3}}{4}$

Bài 68:Cho đường tròn (O,R) và dây $AB$ cố định ($AB$ không là đường kính).Từ điểm P di động trên tia đối của tia AB vẽ 2 tiếp tuyến $PN,PQ$.Gọi $K$ là giao của $OP$ và $NQ$.Chứng minh $K$ luôn nằm trên 1 đường tròn cố định

 

 

Bài $25$: Cho $\triangle \ ABC$, các phân giác $AD, BE. CF$, $M$ là giao điểm $BE$ và $DF$, $N$ là giao điểm $DE$ và $CF$. Chứng minh $\widehat{FAM}=\widehat{EAN}$

Nhờ bạn xem hộ lại bài 25,mình vẽ hình trên GeoGeobra không ra được 2 góc cần cm bằng nhau !

Giúp mình bài này:

Bài 22:Tồn tại hay không số tự nhiên $x$ thỏa mãn:

a)$x^2+x+1 \vdots 31$

b)$x^2+x+1 \vdots 2017$

c)$x^2+x+1 \vdots 5$

1.2 Ta giải như sau 
Giả sử $ab-cd=a+b+c+d=k$ là một số nguyên tố 
Suy ra $a-1=k-b-c-d$ 
Sau một hồi thế vào cái trên cho ta $k=(d+b).\frac{c+b}{b-1} \in \mathbb{Z}$ 
Suy ra $c+1 \vdots b-1$ 
Tương tự c/m cũng được $c+1 \vdots a-1$ 
Từ đó suy ra $q(k+1)=1$ vô lí với $q \in \mathbb{N*}$ 
Suy ra đpcm

Bạn giải thích rõ giúp mình chỗ tô đỏ

bạn tự biến đổi đi

Không! Mình còn thắc mắc tại sao bạn đặt $a+b+c+d=k$ mà lại suy ra $a-1=k-b-c-d$ 

Với lại mình không hiểu mới hỏi,sao lại nói tự biến đổi được 

1. Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn  $x^{2}+y^{2}+z^{2}=9,xyz\leq 0$

 

CMR: $2(x+y+z)-xyz\leq 10$ 

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki

$\left [2(x+y)+z(2-xy) \right ]^2\leqslant \left [ (x+y)^2+z^2 \right ](4+(2-xy)^2)$

$=(9+2xy)(8+x^2y^2-4xy)$

Ta sẽ đi cm $(9+2t)(8+t^2-4t)\leqslant 100$

$(t+2)^2(2t-7)\leqslant 0$ (với $t=xy$) $(*)$

Đến đây giả sử $|x|\leqslant |y|\leqslant |z|\Rightarrow x^2\leqslant y^2\leqslant z^2\Rightarrow x^2+y^2\leqslant 6$

Mà $xy\leqslant \frac{x^2+y^2}{2}\leqslant 3$ suy ra đpcm

 

Câu 3:

 

Giải phương trình sau:$4x^2-11x+10=(x-1)\sqrt{2x^2-6x+2}$

 

Câu 4:Cho tam giác ABC cân tại A có M là trung điểm của BC,O là điểm nằm trong tam giác sao cho $\widehat{OBA}=\widehat{OCB}$.Chứng minh rằng:$\widehat{AOC}+\widehat{BOM}=180^{\circ}$

4.Bài hình sao nghèo nàn quá vậy,đi thi hình luôn là câu gây trở ngại khó nhất cho thí sinh mà,bài này dễ quá

$\Delta OMB=\Delta OMC(c.g.c)\Rightarrow \widehat{BOM}=\widehat{CMO}\Rightarrow \widehat{BOM}+\widehat{AOC}=\widehat{CMO}+\widehat{AOC}=180^{\circ}\rightarrow Q.E.D$

Nhận xét về cấu trúc ra đề:

Phần đại số chiếm quá nhiều trong khi phần hình lại quá ít,và bài hình duy nhất ấy quá dễ,học sinh đại trà lớp 7 cũng làm được.

Bài bất đẳng thức không phù hợp với THCS khi lời giải phải dùng đến bất đẳng thức Schur.

Bài hệ khá ổn,bài phương trình vô tỉ nghiệm xảy ra THCS chưa giải được.

Tóm lại đề còn có nhiều sai sót và cần chỉnh sửa nhiều hơn nữa

Giải

Giả sử $k=p_1^{a_1}.p_2^{a_2}...p_n^{a_n}$

$=> k^3 = p_1^{3a_1}.p_2^{3a_2}...p_n^{3a_n} $

Xét $p$ là 1 ước bất kì của $k$

Ta có $m.n \vdots p^{3}$

Mặt khác do $(m,n)=1 => m \vdots p^3  \text{hoặc } n \vdots p^3$ (vì nếu $n=p;m=p^2$ thì vô lý, tương tự trường hợp kia )

Từ đó, cứ như thế, $m,n$ đều là lập phương của số tự nhiên

Lập luận cho tương tự cho trường hợp tổng quát

Đoạn màu đỏ bạn làm thế nào để chứng minh là lập phương của số tự nhiên được,bạn phải chứng minh được $p^3 \vdots m$ và $p^3 \vdots n$ thì mới suy ra được lập phương của số tự nhiên chứ.Lập luận của bạn quá là mơ hồ đi !!

Chà,nghe như ngôn tình ấy nhỉ   Cơ mà hay đó 

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có $ab^{2}+bc^{2}+ca^{2}\leq \sqrt{(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2})(a^{2}+b^2+c^2)}\leq \sqrt{\frac{(a^2+b^2+c^2)^{2}}{3}.3}=3;a^{2}+b^2+c^2\leq \sqrt{3(a^{4}+b^4+c^4)}\Leftrightarrow 3\leq \sqrt{3(a^{4}+b^4+c^4)}\Leftrightarrow a^{4}+b^4+c^4\geq 3$

Đề là + 10z thì mới làm được chứ nhỉ ???

Mình sửa rồi đó,bạn giải đi

Tìm x,y,z nguyên dương thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} x+y+z>11 & \\ 8x+9y+10z=100 & \end{matrix}\right.$

Cho $x,y,z$ là 3 số thực dương thỏa mãn: $xyz=1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{4}{3(z+1)^3}$

Có thể áp dụng bổ đề NÀY

Giả sử $z=max(x,y,z)\Rightarrow z\geq 1$ 

Áp dụng bổ đề trên kết hợp vs bất đẳng thức C-S ta có $P\geq \frac{1}{1+xy}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{z}{z+1}+\frac{4}{3(z+1)^3}=\frac{3z(z+1)^{2}+4}{3(z+1)^3}=\frac{3z^{3}+6z^2+3z+4}{3z^{3}+9z^2+9z+3}=1-\frac{z(z+1)}{(z+1)^{3}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=1-\frac{z}{(z+1)^{2}}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq 1-\frac{z}{4z}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}=\frac{3}{4}-\frac{2}{3(z+1)^{3}}\geq \frac{3}{4}-\frac{2}{3.2^{3}}=\frac{2}{3}$

Dấu ''='' xảy ra khi $x=y=z=1$

Cho $a,b,c>0$ và $a+b+c=3$.Chứng minh rằng:
$\frac{a^3}{(2a^2+b^2)(2a^2+c^2)}+\frac{b^3}{(2b^2+c^2)(2b^2+a^2)}+\frac{c^3}{(2c^2+a^2)(2c^2+b^2)}\leqslant \frac{1}{3}$

Đã có tại đây

Tìm x, y nguyên dương thỏa mãn:

(x² -3) chia hết cho (xy+3)

$x^{2}-3\vdots xy+3\Rightarrow y(x^2-3)\vdots xy+3\Rightarrow x(xy+3)-3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\vdots xy+3\Leftrightarrow 3(x+y)\geq xy+3\Leftrightarrow (3-x)y\geq 3-3x$

Xét $x=1,2$ rồi tìm y

Xét $x \geq 3$ ta có $y\leq \frac{3x-3}{x-3}=3+\frac{6}{x-3}\leq 9\Rightarrow 1\leq y\leq 9$

Xét các trường hợp của $y$ để tìm $x$

Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))

Cho các số thực dương a,b. Tìm hằng số k lớn nhất thỏa mãn bất đẳng thức : \[\frac{k}{a^{3}+b^{3}}+\frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}\geq \frac{16+4k}{\left ( a+b \right )^{3}}\]  

Biến đổi BĐT đã cho thành
$ ( \frac{k}{a^{3}+b^{3}}-\frac{4k}{(a+b)^{3}}  )+ ( \frac{1}{a^{3}}+\frac{1}{b^{3}}-\frac{16}{(a+b)^{3}})\geq 0$
$\Leftrightarrow ( \frac{a-b}{a+b})^{2}[ \frac{(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}}{a^{3}b^{3}(a+b)}-\frac{3k}{a^{3}+b^{3}} ]\geq 0$
Nên BĐT sau phải đúng:
$ [ (a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2} ](a^{3}+b^{3})\geq 3ka^{3}b^{3}(a+b)$
Cho $a=b$ suy ra $k\leq 8$. Mặt khác, khi k=8 thì theo AM-GM:
$(a^{2}+ab+b^{2})^{2}+3ab(a+b)^{2}+3a^{2}b^{2}\geq 24a^{2}b^{2}$
$a^{3}+b^{3}\geq ab(a+b)$ (đpcm)
Hằng số $k$ tốt nhất là $k=8$

Giải hệ phương trình

 $\left\{\begin{matrix} \sqrt{\frac{6x}{x+y}} + \sqrt{\frac{x+y}{6x}} = \frac{5}{2} \\ x+y-xy = 9 \end{matrix}\right.$

ĐK:$x>0;x>-y$

Đặt $\sqrt{\frac{6x}{x+y}} =a\Rightarrow  \sqrt{\frac{x+y}{6x}} =\frac{1}{a}\Rightarrow a+\frac{1}{a}=\frac{5}{2}\Leftrightarrow 2(a^{2}+1)=5a\Leftrightarrow (2a-1)(a-2)=0\Leftrightarrow \begin{bmatrix}a=\frac{1}{2}\Leftrightarrow \frac{6x}{x+y}=\frac{1}{4}\Leftrightarrow 23x=y & \\ a=2\Leftrightarrow\frac{6x}{x+y}=4\Leftrightarrow x=2y   & \end{bmatrix}$