Lời giải
Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn
$f\left ( 0 \right )=2024$ và $f\left ( x+y+f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )+2023y,\forall x,y \in \mathbb{R}$
Ta sẽ chứng minh hàm số đơn ánh, xét hai số $a$ và $b$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$ (gọi giá trị này là $c$). Lần lượt thay $x:=a,y:=b$ và $x:=b,y:=a$ vào giả thiết ta có
\[f(a+b+c)=f(c)+2023b\quad \text{và}\quad f(b+a+c)=f(c)+2023a.\]
So sánh hai đẳng thức này thu được $a=b$, nghĩa là hàm $f$ đơn ánh. Từ đây thay $y:=0$ vào giả thiết suy ra $f(x)=x+2024$.