Chủ đề này có 3 trả lời

[nhutduy27]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f\left ( 0 \right )=2024$ và $f\left ( x+y+f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )+2023y,\forall x,y \in \mathbb{R}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhutduy27: 16-03-2024 - 19:33

[Kii Yashiro]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f\left ( 0 \right )=2024$ và $f\left ( x+y+f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )+2023y,\forall x,y \in \mathbb{R}$

 

không biết làm đúng, đủ hay không thôi mà cứ thử sức

 

Thay y=0, ta có:

 

$f(x+f(0))=f(f(x))\Leftrightarrow f(x+2024)=f(f(x))\Leftrightarrow f(x)=x+2024$

[nhutduy27]

không biết làm đúng, đủ hay không thôi mà cứ thử sức

 

Thay y=0, ta có:

 

$f(x+f(0))=f(f(x))\Leftrightarrow f(x+2024)=f(f(x))\Leftrightarrow f(x)=x+2024$

Bạn phải chứng minh $f$ đơn ánh mới có $f(x)=x+2024$, nhưng thế vào vẫn không thỏa

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhutduy27: 17-03-2024 - 13:44

[nhungvienkimcuong]

Lời giải

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn

$f\left ( 0 \right )=2024$ và $f\left ( x+y+f\left ( y \right ) \right )=f\left ( f\left ( x \right ) \right )+2023y,\forall x,y \in \mathbb{R}$

Ta sẽ chứng minh hàm số đơn ánh, xét hai số $a$ và $b$ thỏa mãn $f(a)=f(b)$ (gọi giá trị này là $c$). Lần lượt thay $x:=a,y:=b$ và $x:=b,y:=a$ vào giả thiết ta có

\[f(a+b+c)=f(c)+2023b\quad \text{và}\quad f(b+a+c)=f(c)+2023a.\]

So sánh hai đẳng thức này thu được $a=b$, nghĩa là hàm $f$ đơn ánh. Từ đây thay $y:=0$ vào giả thiết suy ra $f(x)=x+2024$.