Chủ đề này có 3 trả lời

[4869msnssk]

cho a,b,c thoả mãn $\sum \frac{1}{a^{2}}= \sum \frac{1}{a}$

cmr $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{6}$

[banhgaongonngon]

Mình nghĩ đầu bài là thế này.

 

cho a,b,c thoả mãn $\sum \frac{1}{a^{2}}= \sum \frac{1}{a}$

Chứng minh rằng $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{2}$

 

$\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{3b}$

$=\frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Do $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )^{2}\Rightarrow \frac{1}{a}\leq 3$

Và $3\geq \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geq 3$

Vậy $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\iff a=b=c=1$

[Best Friend]

cho a,b,c thoả mãn $\sum \frac{1}{a^{2}}= \sum \frac{1}{a}$

cmr $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{6}$

 

Mình nghĩ đầu bài là thế này.

 

 

$\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{1}{4}\sum \frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{4}\sum \frac{1}{3b}$

$=\frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )$

Do $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{a^{2}}\geq \frac{1}{3}\left ( \sum \frac{1}{a} \right )^{2}\Rightarrow \frac{1}{a}\leq 3$

Và $3\geq \sum \frac{1}{a}\geq \frac{9}{a+b+c}\Rightarrow a+b+c\geq 3$

Vậy $\sum \frac{1}{a+4b+c}\leq \frac{3}{4(a+b+c)}+\frac{1}{12}\sum \frac{1}{a}\leq \frac{1}{2}$

Dấu "=" xảy ra $\iff a=b=c=1$

Đề phải cho $a,b,c >0$ thì ms cô si chớ ạ

[Best Friend]

Nếu $a,b,c>0$ thì làm giựa vào GT nhanh hơn nhiu $\sum \frac{1}{a}=\sum \frac{1}{a^{2}}+3-3\geq 2\sum \frac{1}{a}-3 \Rightarrow 3\geq \sum \frac{1}{a}$

Áp dụng BĐT AM-GM, Cauchy-Swchar

Ta có : $\sum \frac{1}{a+4b+c}=\frac{1}{36}\sum \frac{36}{a+4b+c}\leq \frac{1}{36}\sum \left (\frac{1}{a}+\frac{1}{c}+\frac{4}{b} \right )=\frac{1}{36}\left ( \frac{6}{a}+\frac{6}{b}+\frac{6}{c} \right )\leq \frac{1}{2}$

Gần giống cách của anh banhbaogaongon nhưg giúp gọn bớt