Chủ đề này có 3 trả lời

[kb1212]

Tìm hằng số k nhỏ nhất sao cho bất đẳng thức:

$\sqrt{x^2+y^2}+\sqrt{y^2+z^2}+\sqrt{z^2+x^2}\leq k(x+y+z)$

thỏa với mọi số thực x, y, z , trong đó số lớn nhất không vượt quá tổng hai số còn lại.

[holmes2013]

Cho $x= y= 1,z= 0$ ta có $k\geq 1+\frac{1}{\sqrt{2}}$

Ta chứng minh bất đẳng thức đúng với $k= 1+\frac{1}{\sqrt{2}}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geq y\geq z$

Mà $x\leq y+z\Rightarrow y\leq y+z\Rightarrow z\geq 0\Rightarrow x\geq y\geq z\geq 0$

Do đó:

       $\sqrt{x^{2}+y^{2}}\leq \sqrt{2x^{2}}= \frac{2x}{\sqrt{2}}\leq \frac{x+y+z}{\sqrt{2}}$

       $\sqrt{x^{2}+z^{2}}\leq x+\frac{z}{2}$

       $\sqrt{y^{2}+z^{2}}\leq y+\frac{z}{2}$

$\Rightarrow \sqrt{x^{2}+y^{2}}+\sqrt{y^{2}+z^{2}}+\sqrt{z^{2}+x^{2}}\leq \left ( 1+\frac{1}{\sqrt{2}} \right )\left ( x+y+z \right )$

       Đẳn thức xảy ra$\Leftrightarrow x= y\geq 0,z= 0$ và các hoán vị

   

[kb1212]

     $\sqrt{x^{2}+z^{2}}\leq x+\frac{z}{2}$

       

bạn giải thích rõ dòng này đc ko?

[holmes2013]

bạn giải thích rõ dòng này đc ko?

 

Ta có:  $\sqrt{x^{2}+z^{2}}\leq x+\frac{z}{2}\Leftrightarrow x\left ( x-z \right )+\frac{z^{2}}{4}\geq 0$