Chủ đề này có 2 trả lời

[Nguyen Duc Thuan]

Cho $x,y,z>0$ và $x+y+z=12$ . Chứng minh rằng:

$\frac{4}{3}\sum x\sqrt{x}+16\geq \sum xy$

[nhatquangsin]

Giải:

$\frac{4}{3}(x\sqrt{x}+\sqrt{y}+z\sqrt{z})+16=\sum \frac{4}{3}((\sqrt{x})^{3}+4)$

$=\sum \frac{2}{3}\left ( (\sqrt{x})^{3}+(\sqrt{x})^{3}+8 \right )\geq\sum \frac{2}{3}.6x=\sum 4x=48$

 

$xy+yz+zx\leq \frac{(x+y+z)^{2}}{3}=48$

 

$\Rightarrow đpcm$

Dấu $=$ tại $x=y=z$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nhatquangsin: 27-06-2013 - 22:07

[Best Friend]

Áp dụng BĐT Am-Gm

Ta có : $x+y+z=12\Rightarrow 6\geq \sum \sqrt{x}$

$\Rightarrow \frac{4}{3}\sum x\sqrt{x}+16\geq \frac{4}{3}\sum x\sqrt{x}+3\sum \sqrt{x}-2=\frac{4}{3}\sum \left ( \sqrt{x}\left ( x+4 \right ) \right )-\frac{7}{3}\sum \sqrt{x}-2\geq \frac{4}{3}\sum \left ( \sqrt{x}.4\sqrt{x} \right )-\frac{7}{3}.6-2= \frac{16}{3}\sum x-14-2=48$

mà $xy+yz+xz\leq \frac{1}{3}\left ( x+y+z \right )^{2}=48$

Dấu = xảy ra khi $x=y=z$