Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$
CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$
Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$
CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$
Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$
CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$
BDT đã cho tương đương với
$P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leqslant 7$
Do vai troc của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $2\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$
Ta có $(a-b)(b-c)\geqslant 0\Rightarrow ab+bc\geqslant ac+b^2$
Chia cả 2 vế cho $ab$ ta được $1+\frac{c}{a}\geqslant \frac{c}{b}+\frac{b}{a}$
Chia cả 2 vế cho $bc$ ta được $1+\frac{a}{c}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}$
Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được $2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$
$\Rightarrow 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=P$
Do vậy ta chỉ cần chứng minh $2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leqslant 7\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leqslant \frac{5}{2}$
$\Leftrightarrow \frac{(a-2c)(a-\frac{c}{2})}{ac}\leqslant 0$
Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a,c \in \left [ 1;2 \right ]\Rightarrow \frac{a}{c} \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$
Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,2,1)=(2,1,1)$ và các hoán vị
Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$
CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$
Tổng quát :
Cho các số thực $a_1;a_2;a_3;...;a_n \in [p;q]$$(p;q\geq 0).\text{Chứng minh rằng:}$
$ (a_1+a_2+...+a_n)\left ( \frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right )\leq n^2 +k_n\frac{(p-q)^2}{4pq}$
Trong đó $k_n =n^2$ nếu n chẵn và $n^2 -1$ nếu n lẻ.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phanquockhanh: 01-07-2013 - 21:12
Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq a,b,c \leq 2$
CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$
Vì vai trò của $a,b,c$ như nhau nên giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$
Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a+c)+b(2a-c)(2c-a)\geq 0(Right!)$
“Hầu hết mọi người đều chấp nhận thua cuộc ngay khi họ sắp thành công. Họ dừng lại
ngay trước vạch đích, cách chiến thắng chỉ một bàn chân” -H. Ross Perot
“Tránh xa những kẻ coi nhẹ tham vọng của bạn. Những kẻ nhỏ nhen luôn như thế, còn
những người thực sự vĩ đại sẽ khiến bạn cảm thấy rằng bạn cũng có thể trở nên vĩ đại”
-Mark Twain
Huỳnh Tiến Phát ETP
$WELCOME$ $TO$ $MY$ $FACEBOOK$: https://www.facebook.com/phat.huynhtien.39
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh