3 replies to this topic

[Leorick King]

Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq  a,b,c \leq 2$

CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

[25 minutes]

Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq  a,b,c \leq 2$

CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

BDT đã cho tương đương với 

        $P=\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}\leqslant 7$

Do vai troc của $a,b,c$ là như nhau nên ta có thể giả sử $2\geqslant a\geqslant b\geqslant c\geqslant 1$

Ta có $(a-b)(b-c)\geqslant 0\Rightarrow ab+bc\geqslant ac+b^2$

Chia cả 2 vế cho $ab$ ta được $1+\frac{c}{a}\geqslant \frac{c}{b}+\frac{b}{a}$

Chia cả 2 vế cho $bc$ ta được $1+\frac{a}{c}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}$

Cộng 2 bất đẳng thức trên lại ta được $2+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}$

         $\Rightarrow 2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\geqslant \frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}+\frac{c}{a}=P$

Do vậy ta chỉ cần chứng minh $2+2(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})\leqslant 7\Leftrightarrow \frac{a}{c}+\frac{c}{a}\leqslant \frac{5}{2}$

                         $\Leftrightarrow \frac{(a-2c)(a-\frac{c}{2})}{ac}\leqslant 0$

Nhưng bất đẳng thức trên luôn đúng do $a,c \in \left [ 1;2 \right ]\Rightarrow \frac{a}{c} \in \left [ \frac{1}{2};2 \right ]$

Đẳng thức xảy ra khi $(a,b,c)=(2,2,1)=(2,1,1)$ và các hoán vị

[phanquockhanh]

Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq  a,b,c \leq 2$

CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

Tổng quát :

Cho các số thực $a_1;a_2;a_3;...;a_n \in [p;q]$$(p;q\geq 0).\text{Chứng minh rằng:}$

$ (a_1+a_2+...+a_n)\left ( \frac{1}{a_1} +\frac{1}{a_2}+...+\frac{1}{a_n}\right )\leq n^2 +k_n\frac{(p-q)^2}{4pq}$

Trong đó $k_n =n^2$ nếu n chẵn và $n^2 -1$ nếu n lẻ.

Edited by phanquockhanh, 01-07-2013 - 21:12.

[phatthemkem]

Cho các số thực a,b,c thỏa $1 \leq  a,b,c \leq 2$

CMR: $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10$

Vì vai trò của $a,b,c$ như nhau nên giả sử $1\leq a\leq b\leq c\leq 2$

Ta có $(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}) \leq 10\Leftrightarrow (a-b)(b-c)(a+c)+b(2a-c)(2c-a)\geq 0(Right!)$