Chủ đề này có 2 trả lời

[goodloser13]

1.Cho dãy $u_{1}=2$ $u_{n}=3u_{n-1}+2{n^{3}}-9n^{^{2}}+9n-3$. Chứng minh với mỗi số nguyên tố p thì $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}}$ chia hết cho p.

2.Cho dãy $x_{0}=1$ $x_{1}=\frac{1}{2}$ $x_{n+2}=\frac{x_{n+1}x_{n}}{2002x_{n+1}+2001x_{n}+2000x_{n+1}x_{n}}$. Hãy tìm công thức tổng quát của $x_{n}$.

[namcpnh]

1.Cho dãy $u_{1}=2$ $u_{n}=3u_{n-1}+2{n^{3}}-9n^{^{2}}+9n-3$. Chứng minh với mỗi số nguyên tố p thì $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}}$ chia hết cho p.

2.Cho dãy $x_{0}=1$ $x_{1}=\frac{1}{2}$ $x_{n+2}=\frac{x_{n+1}x_{n}}{2002x_{n+1}+2001x_{n}+2000x_{n+1}x_{n}}$. Hãy tìm công thức tổng quát của $x_{n}$.

 

Xem lại cách đặt tiêu đề bạn nhé, lần sau mình sẽ nhắc nhở ở mức nặng nhất   .

[tson1997]

1.Cho dãy $u_{1}=2$ $u_{n}=3u_{n-1}+2{n^{3}}-9n^{^{2}}+9n-3$. Chứng minh với mỗi số nguyên tố p thì $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}}$ chia hết cho p.

2.Cho dãy $x_{0}=1$ $x_{1}=\frac{1}{2}$ $x_{n+2}=\frac{x_{n+1}x_{n}}{2002x_{n+1}+2001x_{n}+2000x_{n+1}x_{n}}$. Hãy tìm công thức tổng quát của $x_{n}$.

 

1/ Xét dãy $v_{n}= u_{n}+n^3$ mọi n =1,2,...

Từ giả thiết suy ra $v_{1}=3$ và $v_{n+1}=3v_{n}$

Từ đó suy ra $v_{n}= 3^{n-1}.v_{1}=3^n$

suy ra $u_{n} = 3^{n}-n^3 $

suy ra $2009\sum_{i=1}^{p-1}{u_{i}} = 2009.(\frac{3}{2}.(3^{p-1}-1)-\frac{p^2(p-1)^2}{4})$

 

Với p khác 2;3 thì theo định lý Fermat nhỏ suy ra đpcm

Nếu p=2;3 dễ có nhận xét đúng

Vậy ta có đpcm

2/Đặt $v_{n}=\frac{1}{u_{n}}$ thì :

$v_{n+2}= 2000+ 2001.v_{n+1}+2002.v_{n}$

Xét $w_{n}= v_{n}+\frac{1000}{2001}$ thì: $w_{n+2}=2001w_{n+1}+2002w_{n}$ 

 

Từ đây suy ra CTTQ của ${w_{n}}$ -> v(n) -> u(n)