$\boxed{4}$ Giải phương trình
$$x^2-1=3\sqrt{3x+1}$$
Đây là một câu trong thi HSG thành phố Hà Nội năm 2004-2005
Solution
Điều kiện: $x\geq -\dfrac{1}{3}$
Đặt $\sqrt{3x+1}=y$ ($y\geq 0$)
Ta có hệ
$$\left\{\begin{matrix} x^2-1=3y & & \\ y^2-1=3x & & \end{matrix}\right.$$
$\Rightarrow (y-x)(y+x+3)=0\Leftrightarrow x=y$ (Vì $x+y+3>0$)
$\Rightarrow \sqrt{3x+1}=x\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x\geq 0 & & \\ 3x+1=x^2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow x=\frac{3+\sqrt{13}}{2}$