Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $$i) (abc)^2+2a^2+2b^2+2c^2 \ge 7$$

$$ii) (abc)^2+11 \ge 4(ab+bc+ca)$$

 

[Best Friend]

Mik chỉ nghĩ ra cách làm thôi. chứ chưa làm đc 1 đầy đủ.

Đây là HD của mình:

Ta sẽ cm bài toán phụ sau : Với mọi $a,b,c$ thực luôn có :  $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$(*)

Trang 65 trong sách Sáng tạo Bất Đẳng Thức của Phạm Kim Hùng

Ta có : $(abc)^{2}+1+2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}-1\geq 1+2abc+a^{2}+b^{2}+c^{2}+(a^{2}+b^{2}+c^{2})-2\geq 2(ab+bc+ac)+a^{2}+b^{2}+c^{2}-2=(a+b+c)^{2}-2=7$

[taideptrai]

hehehehehe!!! câu b cũng tương tự

 

ta có $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+1+1\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)$

nên $a^{2}+b^{2}+c^{2}+(abc)^{2}+2\geq 2(ab+bc+ca)$

suyra $(a+b+c)^{2}+(abc)^{2}+2\geq 4(ab+bc+ca)$

mà a+b+c=3 => $(abc)^{2}+11\geq 4(ab+bc+ca)$

dấu bằng xảy ra khi a=b=c=1

[4869msnssk]

Cho $a,b,c \in \mathbb{R}$ thoả mãn $a+b+c=3$. Chứng minh $$i) (abc)^2+2a^2+2b^2+2c^2 \ge 7$$

$$ii) (abc)^2+11 \ge 4(ab+bc+ca)$$

vậy thì ai sẽ cm bài toán phụ trên vậy? 

$a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

[Zaraki]

vậy thì ai sẽ cm bài toán phụ trên vậy? 

$A=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2abc+1\geq 2(ab+bc+ac)$

Lời giải. Xét ba số $a-1,b-1,c-1$ thì theo nguyên lí Dirichlet sẽ tồn tại ít nhất hai trong ba số trên cùng không âm hoặc cùng không dương.

Giả sử $(a-1)(b-1) \ge 0 \Leftrightarrow ab-a-b+1 \ge 0$.

Ta có $A= (a-b)^2+2c(ab-a-b+1)+(c-1)^2+2(ab+bc+ca) \ge 2(ab+bc+ca)$.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c=1$.