Cho a, b, c là các số thực ko âm thoả a + b + c=3. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8$
#1
Đã gửi 17-07-2013 - 19:34
bachhammer
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
#2
Đã gửi 17-07-2013 - 20:30
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Cho a, b, c là các số thực ko âm thoả a + b + c=3. Tìm GTNN của biểu thức:
$P=2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8$
Ta có
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)$
$=12(ab+bc+ca)-27-8abc$
$\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ca)-27$
$\Rightarrow abc\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{3}-3$
$\Rightarrow P\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\frac{4(ab+bc+ca)}{3}+5=\frac{2(a+b+c)^2}{3}+\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{3}+5\geq 6+4+5=15$
Vậy min $P$ là $15$
- bachhammer, hoctrocuanewton, chuyentoan1998 và 1 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
#3
Đã gửi 17-07-2013 - 20:33
bachhammer
-
- Thành viên
-
- 659 Bài viết
Thiếu úy
Ta có
$abc\geq (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)=(3-2a)(3-2b)(3-2c)$
$=12(ab+bc+ca)-27-8abc$
$\Rightarrow 9abc\geq 12(ab+bc+ca)-27$
$\Rightarrow abc\geq \frac{4(ab+bc+ca)}{3}-3$
$\Rightarrow P\geq 2(a^2+b^2+c^2)+\frac{4(ab+bc+ca)}{3}+5=\frac{2(a+b+c)^2}{3}+\frac{4(a^2+b^2+c^2)}{3}+5\geq 6+4+5=15$
Vậy min $P$ là $15$
Tổng quát với việc chứng minh $2(\sum a^{2})+\prod a+8\geq 5(\sum a)$ (bỏ giả thiết a + b + c = 3)...
- vutuanhien yêu thích
#4
Đã gửi 19-07-2013 - 09:09
Beethoven97
-
- Thành viên
-
- 6 Bài viết
Lính mới
Tổng quát với việc chứng minh $2(\sum a^{2})+\prod a+8\geq 5(\sum a)$ (bỏ giả thiết a + b + c = 3)...
$6[2(a^{2}+b^{2}+c^{2})+abc+8-5(a+b+c)]=12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+6abc+48-30(a+b+c)\geq 12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+3(abc+abc+1)+45-5[(a+b+c)^{2}+9]\geq 12(a^{2}+b^{2}+c^{2})+9\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}-5(a+b+c)^{2}=7(a^{2}+b^{2}+c^{2})-10(ab+bc+ca)+\frac{9abc}{\sqrt[3]{abc}}=\frac{9abc}{\sqrt[3]{abc}}+3(a^{2}+b^{2}+c^{2})-6(ab+bc+ca)+2[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-a)^{2}]\geq\frac{27abc}{a+b+c}+3(a+b+c)^{2}-12(ab+bc+ca)=\frac{3}{a+b+c}[9abc+(a+b+c)^{3}-4(ab+bc+ca)(a+b+c)]=\frac{3}{a+b+c}[a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc-ab(a+b)-bc(b+c)-ca(c+a)]\geq 0$ (đúng theo BĐT Schur). Mình chỉ giải nhiu đó thôi nhé... Có gì sai thì mong chỉ giáo... 
- bachhammer yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
