Chủ đề này có 3 trả lời

[dangthanhnhan]

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không là số nguyên với x là số tự nhiên:

\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dangthanhnhan: 18-07-2013 - 15:18

[Juliel]

Chứng minh giá trị của biểu thức sau không là số nguyên với x là số tự nhiên:

\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}

Đề bài : Chứng minh rằng giá trị biểu thức $\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}$ không là số nguyên với $x$ là số tự nhiên

Giải :

Hiển nhiên ta có điều sau :

$(8x+1)^{2}<100x^{2}+39x+\sqrt{3}<(10x+2)^{2}$

$\Rightarrow 8x+1<\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<10x+2$

$\Rightarrow (4x+1)^{2}<16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<16x^{2}+10x+2<(4x+2)^{2}$

$\Rightarrow 4x+1<\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x+2$

$\Rightarrow (2x+1)^{2}<4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x^{2}+4x+2<(2x+2)^{2}$

$\Rightarrow 2x+1<\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<2x+2$

$\Rightarrow (x+1)^{2}<x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<x^{2}+2x+2<(x+2)^{2}$

$\Rightarrow x+1<\sqrt{x^{2}+\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}}<x+2$

Biểu thức đã cho đã bị kẹt giữa hai số nguyên liên tiếp, do đó nó không thể nguyên. Đây là đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Juliel: 18-07-2013 - 16:13

[ngoctruong236]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 18-07-2013 - 16:48

[ngoctruong236]

$\inline Ta có:(8x+1)^{2}<100x^{2}+39x+\sqrt{3}<(10x+2)^{2}(dung voi moi x)\Rightarrow 8x+1<\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<10x+2 \Rightarrow (4x+1)^{2}<16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}<16x^{2}+10x+2<(4x+2)^{2} \Rightarrow 4x+1<\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x+2 \Rightarrow (2x+1)^{2}<4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}<4x^{2}+4x+2<(2x+2)^{2} \Rightarrow 2x+1<\sqrt{4x^{2}+\sqrt{16x^{2}+\sqrt{100x^{2}+39x+\sqrt{3}}}}<2x+2 \Rightarrow (x+1)^{2}