Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.
Cmr: $4-a^2b-b^2c-c^2a$$\geq abc$
Bài này nói bất đẳng thức quen thuộc ( trong sách) mà sao mình cứ lờ mờ lơ mơ giải hoài không ra!
#2
Đã gửi 20-07-2013 - 09:45
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 690 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.
Cmr: $4-a^2b-b^2c-c^2a$$\geq abc$
Bài này nói bất đẳng thức quen thuộc ( trong sách) mà sao mình cứ lờ mờ lơ mơ giải hoài không ra!
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$
Khi đó $a^2b+b^2c+c^2a+abc=b(a+c)^2+a(b-a)(b-c)\leq b(a+c)^2$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
$b(a+c)^2=4.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^3=4$ (vì $a+b+c=3$)
Kết thúc chứng minh
- Zaraki, nguyencuong123, Ha Manh Huu và 4 người khác yêu thích
"The first analogy that came to my mind is of immersing the nut in some softening liquid, and why not simply water? From time to time you rub so the liquid penetrates better, and otherwise you let time pass. The shell becomes more flexible through weeks and months—when the time is ripe, hand pressure is enough, the shell opens like a perfectly ripened avocado!" - Grothendieck
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
