Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.
Cmr: $4-a^2b-b^2c-c^2a$$\geq abc$
Bài này nói bất đẳng thức quen thuộc ( trong sách) mà sao mình cứ lờ mờ lơ mơ giải hoài không ra!
#2
Đã gửi 20-07-2013 - 09:45
vutuanhien
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 691 Bài viết
Thiếu úy
Cho $a,b,c$ là các số thực không âm thỏa mãn $a+b+c=3$.
Cmr: $4-a^2b-b^2c-c^2a$$\geq abc$
Bài này nói bất đẳng thức quen thuộc ( trong sách) mà sao mình cứ lờ mờ lơ mơ giải hoài không ra!
Không mất tính tổng quát, giả sử $b$ là số nằm giữa $a$ và $c$
Khi đó $a^2b+b^2c+c^2a+abc=b(a+c)^2+a(b-a)(b-c)\leq b(a+c)^2$
Áp dụng BĐT AM-GM, ta có
$b(a+c)^2=4.b.\frac{a+c}{2}.\frac{a+c}{2}\leq 4.(\frac{b+\frac{a+c}{2}+\frac{a+c}{2}}{3})^3=4$ (vì $a+b+c=3$)
Kết thúc chứng minh
- Zaraki, nguyencuong123, Ha Manh Huu và 4 người khác yêu thích
"Algebra is the offer made by the devil to the mathematician. The devil says: I will give you this powerful machine, it will answer any question you like. All you need to do is give me your soul: give up geometry and you will have this marvelous machine." (M. Atiyah)
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
