Chủ đề này có 3 trả lời

[Lanaseafood]

Dãy số $(x_{n})$ với n=1,2,3,... được xác định bởi: $x_{1}=3,x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}^{2}-x_{n},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm giới hạn của dãy $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}$

[Math Is Love]

Dãy số $(x_{n})$ với n=1,2,3,... được xác định bởi: $x_{1}=3,x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}^{2}-x_{n},\forall n\epsilon N^{*}$. Tìm giới hạn của dãy $S_{n}=\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_{i}}$

Mình chỉ nêu hướng làm còn chi tiết thì dành cho bạn! 

Dễ dàng tính được:

$$ x_1=3$$

$$ x_2= \frac{3}{2}$$

$$ x_3=\frac {3}{8}$$

$$ x_4={57}{128}$$

$$ x_5=-0.346...$$

$$ x_6=0,4...$$

Đặt $f(x)= \frac{x^2}{2}-x$. Ta có: $f'(x)=x-1 <0 \ \forall x<1$

Dễ chứng minh được từ $x_3$ trở đi thì $x_{2k} >0$ và $x_{2k+1} <0$

Và từ đó chứng minh được $\left \{ x_{2k} \right \}$ là dãy số dương và giảm; $\left \{ x_{2k+1} \right \}$ là dãy số âm và tăng với mọi $k\geq 2$

Chuyển qua công thức truy hồi ta tìm được giới hạn hai dãy bằng nhau và bằng $0$

Chú ý rằng $ \frac {1}{x_n} = \frac{1}{x_{n-1}-2} -\frac{1}{x_{n-1}}$

$\lim \frac{1}{x_{2k}} = + \infty$ và $\lim \frac{1}{x_{2k+1}} = - \infty$

Từ đây suy ra dãy $S_n$ phân kì.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 23-07-2013 - 15:59

[Lanaseafood]

sorry Math Is Love nhe, đề bài là $x_{n+1}=\frac{1}{2}x_{n}^{2}-x_{n}+2$.

Bạn coi lại dùm minh nhe!

[tran thanh binh dv class]

$x_{n+1}-2=\frac{1}{2}x_{n}(x_{n}-2)\Rightarrow \frac{1}{x_{n+1}-2}=\frac{1}{x_{n}-2}-\frac{1}{x_{n}}$

Từ đó $\sum \frac{1}{x_i}=\frac{1}{x_1-2}-\frac{1}{x_{n+1}-2}=1-\frac{1}{x_{n+1}-2}$

Dễ thấy $limx_n=+\infty$ suy ra $lim\sum \frac{1}{x_i}=1$