Cho dãy $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ biết $x_{1}=-\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}-1}{2}$ với mọi n=1,2,3,....
Tìm giới hạn của dãy $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ khi $n\rightarrow \infty$
Tìm giới hạn của dãy $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ khi $n\rightarrow \infty$
Bắt đầu bởi Lanaseafood, 20-07-2013 - 23:29
#2
Đã gửi 23-07-2013 - 15:40
Math Is Love
-
- Thành viên
-
- 620 Bài viết
$\mathfrak{Forever}\ \mathfrak{Love}$
Cho dãy $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ biết $x_{1}=-\frac{1}{2},x_{n+1}=\frac{x_{n}^{2}-1}{2}$ với mọi n=1,2,3,....
Tìm giới hạn của dãy $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ khi $n\rightarrow \infty$
Đặt $f(x)=\frac{x^2-1}{2}$. Ta có:
$$f'(x)=x<0 \ \forall x <0$$
Dễ dàng quy nạp được $\frac{-1}{2} \leq x_n \leq \frac{-3}{8}$ với mọi $n \in Z^+$
Mặt khác dễ tính được $x_1<x_3$ nên suy ra $\left \{ x_{2k} \right \}$ là dãy giảm và $\left \{ x_{2k+1} \right \}$ là dãy tăng.
Vì ở trên suy ra dãy $\left \{ x_{n} \right \}$ bị chặn nên chuyển qua công thức truy hồi $L= f^{\circ}f(L)$ của hai dãy con và chú ý điều kiện của $x_n$
ta suy ra $\lim x_{2k} = \lim x_{2k+1} = 1-\sqrt{2}$
Vậy $\lim x_n =1-\sqrt{2}$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Math Is Love: 23-07-2013 - 15:43
- Lanaseafood yêu thích
#3
Đã gửi 26-07-2013 - 08:55
germany3979
-
- Thành viên
-
- 124 Bài viết
Trung sĩ
Bạn giải thích giúp mình $limx_{2k}=limx_{2k+1}=1-\sqrt{2}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
