Chủ đề này có 1 trả lời

[Lanaseafood]

Cho đa thức: $P(x)=C_{2009}^{1}+2C_{2009}^{2}(2x)+3C_{2009}^{3}(2x)^{2}+...+2009C_{2009}^{2009}(2x)^{2008}$

Tính tổng của các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho.

[germany3979]

Cho đa thức: $P(x)=C_{2009}^{1}+2C_{2009}^{2}(2x)+3C_{2009}^{3}(2x)^{2}+...+2009C_{2009}^{2009}(2x)^{2008}$

Tính tổng của các hệ số bậc lẻ của đa thức đã cho.

Ta có:

$(1+2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}$

$(1-2x)^{2009}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}(2x)^{k}(-1)^{k}$

Suy ra

$2009(1+2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}$

$-2009(1-2x)^{2008}=\sum_{k=0}^{2009}C_{2009}^{k}k(2x)^{k-1}(-1)^{k}$

$\Rightarrow \frac{2009(1+2x)^{2008}-2009(1-2x)^{2008}}{2}=2C_{2009}^{2}(2x)+4C_{2009}^{4}(2x)^{3}+6C_{2009}^{6}(2x)^{5}+...+2008C_{2009}^{2008}(2x)^{2007}$

Vậy tổng của các hệ số bậc lẻ của P(x) là $\frac{2009(1+2.1)^{2008}-2009(1-2.1)^{2008}}{2}=\frac{2009(3^{2008}-1)}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi germany3979: 08-08-2013 - 17:36