$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
Chứng minh bất đẳng thức
#1
Đã gửi 21-07-2013 - 16:00
#2
Đã gửi 21-07-2013 - 16:23
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
Bài toán đầy đủ là
$\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$
c/m:
ta có BĐT phụ : $\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} \geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}$ ( bạn có thể chứng minh bđt này bằng cách quy đồng đưa về hằng đẳng thức )
áp dụng 2 lần ta đc
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b} +\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y)^{2}}{a+b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$
Dấu bằng ''$a=b=c$''
p/s: đây là bđt svac-sơ vs 3 số cũng đc xem là hệ quả của B.C.S
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi THYH: 21-07-2013 - 16:27
- thanhhuyen98 và tttt thích
''math + science = success''
TVT
#3
Đã gửi 21-07-2013 - 16:29
mà mik ngu lm p cm đi
$\frac{x^2}{a}+\frac{y^2}{b}+\frac{z^2}{c}\geq \frac{(x+y+z)^2}{a+b+c}$
Áp dụng bất đẳng thức bunhiacopskia cho 3 số :
$(\sqrt{a}^{2}+\sqrt{b}^{2}+\sqrt{c}^{2})[(\frac{x}{\sqrt{a}})^{2}+\frac{y}{\sqrt{b}})^{2}+\frac{z}{\sqrt{c}})^{2}]\geq (x+y+z)^{2}$
$=>\frac{x^{2}}{a}+\frac{y^{2}}{b}+\frac{z^{2}}{c}\geq \frac{(x+y+z)^{2}}{a+b+c}$
$=>đpcm$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 21-07-2013 - 16:32
- thanhhuyen98 yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
#4
Đã gửi 21-07-2013 - 16:32
de bai phai la a,b,c >0 chu khong phai khong am
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoctrocuanewton: 21-07-2013 - 16:34
- thanhhuyen98 yêu thích
#5
Đã gửi 21-07-2013 - 16:35
Sau đây là bài mình, chứng minh công thức tổng quát luôn nhé: (mấy cái a1, a2 ,...,an là dãy số nha ko phải nhân đâu)
Áp dụng bắt đẳng thức bunhiacôpski cho 2 bộ số :
$\frac{a1}{\sqrt{b1}},\frac{a2}{\sqrt{b2}},...,\frac{an}{\sqrt{bn}}$ và $\sqrt{b1},\sqrt{b2},\sqrt{b3},....,\sqrt{bn}$
Ta có :
$(\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+...+\frac{an^{2}}{bn})(b1+b2+b3+b4+...+bn)\geq (\frac{a1}{b1}.\sqrt{b1}+\frac{a2}{b2}.\sqrt{b2}+...+\frac{an}{bn}.\sqrt{bn}=(a1+a2+...+an)^{2}$
Từ đây suy ra điều phải chứng minh :
$\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+...+\frac{an^{2}}{bn}\geq \frac{(a1+a2+a3+ã+...+an)^{2}}{b1+b2+b3+b4+...+bn}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\frac{\frac{a1}{\sqrt{b1}}}{\sqrt{b1}}= \frac{\frac{a2}{}\sqrt{b2}}{\sqrt{b2}}=...= \frac{\frac{an}{\sqrt{bn}}}{\sqrt{bn}}\Leftrightarrow \frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi sieusieu90: 21-07-2013 - 16:36
- letankhang, super like, cau like và 2 người khác yêu thích
#6
Đã gửi 21-07-2013 - 16:37
Sau đây là bài mình, chứng minh công thức tổng quát luôn nhé: (mấy cái a1, a2 ,...,an là dãy số nha ko phải nhân đâu)
Áp dụng bắt đẳng thức bunhiacôpski cho 2 bộ số :
$\frac{a1}{\sqrt{b1}},\frac{a2}{\sqrt{b2}},...,\frac{an}{\sqrt{bn}}$ và $\sqrt{b1},\sqrt{b2},\sqrt{b3},....,\sqrt{bn}$
Ta có :
$(\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+...+\frac{an^{2}}{bn})(b1+b2+b3+b4+...+bn)\geq (\frac{a1}{b1}.\sqrt{b1}+\frac{a2}{b2}.\sqrt{b2}+...+\frac{an}{bn}.\sqrt{bn}=(a1+a2+...+an)^{2}$
Từ đây suy ra điều phải chứng minh :
$\frac{a1^{2}}{b1}+\frac{a2^{2}}{b2}+...+\frac{an^{2}}{bn}\geq \frac{(a1+a2+a3+ã+...+an)^{2}}{b1+b2+b3+b4+...+bn}$
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:
$\frac{\frac{a1}{\sqrt{b1}}}{\sqrt{b1}}= \frac{\frac{a2}{}\sqrt{b2}}{\sqrt{b2}}=...= \frac{\frac{an}{\sqrt{bn}}}{\sqrt{bn}}\Leftrightarrow \frac{a1}{b1}=\frac{a2}{b2}=...=\frac{an}{bn}$
Thiếu dấu căn ờ vài chỗ đó
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi letankhang: 21-07-2013 - 16:38
- thanhhuyen98 yêu thích
$\mathfrak Lê $ $\mathfrak Tấn $ $\mathfrak Khang $ $\mathfrak tự$ $\mathfrak hào $ $\mathfrak là $ $\mathfrak thành $ $\mathfrak viên $ $\mathfrak VMF $
$\textbf{Khi đọc một quyển sách; tôi chỉ ráng tìm cái hay của nó chứ không phải cái dở của nó.}$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh