Chủ đề này có 2 trả lời

[pham thuan thanh]

$CMR: \left ( 2n \right )! < 2^{2n}\left ( n! \right )^{2}.   với    n    \varepsilon N$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 23-07-2013 - 13:30

[Nguyen Huy Tuyen]

$CMR: \left ( 2n \right )! < 2^{2n}\left ( n! \right )^{2}.   với    n    \varepsilon N$

$\left ( 2n \right )! < 2^{2n}\left ( n! \right )^{2}\Leftrightarrow (n+1)(n+2)...(2n)< 4^n.n!$

Nếu $n$ lẻ ta có:$4^n.n!=\frac{n-1}{2}!.4^{\frac{n-1}{2}}.2(n+1).2(n+3)...4n> (n+1)(n+2)...(2n)$

Nếu $n$ chẵn ta có:$4^n.n!=\frac{n}{2}!.4^{\frac{n}{2}}.2(n+2).2(n+4)...4n> (n+1)(n+2)...(2n)$

Vậy $\left ( 2n \right )! < 2^{2n}\left ( n! \right )^{2}$

[pham thuan thanh]

với n=1 ta có: $2!< 2^{2}\left ( 1! \right )^{2}$ (bất đẳng thức đúng)

giả sử: $\left ( 2k \right )!< 2^{2k}\left ( k! \right )^{2}$ ①

 ta CM: $\left ( 2k+2 \right )!< 2^{2k+2}\left [ \left ( k+1 \right )! \right ]^{2}$ ②

theo ① ta co:$\left ( 2k+2 \right )!=\left ( 2k \right )!\left ( 2k+1 \right )\left ( 2k+2 \right )< 2^{2k}\left ( k! \right )^{2}\left ( 2k+1 \right )\left ( 2k+2 \right )$.  để CM ② ta cần CM bất đẳng thức:

$2^{2K}\left ( K! \right )^{2}\left ( 2K+1 \right )\left ( 2K+2 \right )< 2^{2K+2}\left [ \left ( K+1 \right )! \right ]^{2}$$\Leftrightarrow 0<2K+2$  (Bất đẳng thức cuối đúng.)

$\Leftrightarrow$ ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi pham thuan thanh: 23-07-2013 - 08:49