Chủ đề này có 1 trả lời

[dangthanhnhan]

cho a,b,c>0. CMR

$\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}+\frac{1}{2\sqrt[3]{abc}}\geq \frac{(a+b+c+\sqrt[3]{abc})^2}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

[LsTinyBaby]

Áp dụng Cauchy-Schwarz ta có được \[\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}} + \frac{1}{{2\sqrt[3]{{abc}}}} = \sum\limits_{cyc} {\frac{{{c^2}}}{{{c^2}\left( {a + b} \right)}}}  + \frac{{{{\left( {\sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}}}{{2abc}} \ge \frac{{{{\left( {c + a + b + \sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}}}{{\sum\limits_{cyc} {{c^2}\left( {a + b} \right)}  + 2abc}} = \frac{{{{\left( {a + b + c + \sqrt[3]{{abc}}} \right)}^2}}}{{\left( {a + b} \right)\left( {b + c} \right)\left( {c + a} \right)}}\]

 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi LsTinyBaby: 24-07-2013 - 17:08