Chủ đề này có 1 trả lời

[holmes2013]

Cho các số thực không âm a,b,c sao cho không có 2 số nào đồng thời bằng 0. Chứng minh:

$\sum \sqrt[3]{\frac{a^{2}+bc}{b^{2}+c^{2}}}\geq \frac{9\sqrt[3]{abc}}{a+b+c}$

[thinhthoithuong]

- BĐT cần cm $\Leftrightarrow \sum$$\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}} \geq \frac{9}{a+b+c}$

- Xét phân thức: $\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}$ 

Đảo ngược phân thức kết hợp AM-GM cho 3 số:

$3\sqrt[3]{\frac{abc(b^2+c^2)}{a^2+bc}}=3\sqrt[3]{\frac{a(b^2+c^2)}{a^2+bc}.b.c}\leq \frac{a(b^2+c^2)}{a^2+bc}+b+c$

Quy đồng biểu thức $\frac{a(b^2+c^2)}{a^2+bc}+b+c$ suy ra được:

$3\sqrt[3]{\frac{abc(b^2+c^2)}{a^2+bc}}\leq \frac{a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}{a^2+cb}$

 

Từ đó suy ra:  $\sqrt[3]{\frac{a^2+bc}{(b^2+c^2)abc}}$ $\geq \frac{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}$

Vậy cần chứng minh: $\frac{3(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca)}{a(b^2+c^2)+b(a^2+c^2)+c(a^2+b^2)}\geq \frac{9}{a+b+c}$(1)

Đến đây, đổi biến: $p= a+b+c$ ; $q=ab+bc+ca$ ; $r=abc$

$(1)\Leftrightarrow \frac{3(p^2-q)}{pq-3r}\geq \frac{9}{p}\Leftrightarrow (p^2-q)p\geq 3(pq-3r)\Leftrightarrow p^3+9r\geq 4pq$

Bất đẳng thức cuối đúng vì theo Schur ta có: $r\geq \frac{p(4q-p^2)}{9}\Rightarrow 9r\geq p(4q-p^2)$ ( Thế vào bất đẳng thức cuối ở trên)

----> Đpcm

Dấu = khi $a=b=c$

Bài này mình thấy trong tập Schur của thầy Võ Quốc Bá Cẩn cũng có cách giải, nhưng nó hơi ngược với mình và mình thấy không được tự nhiên, cách này thì mình thấy là tự nhiên nhất, làm cho cùng mẫu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thinhthoithuong: 25-07-2013 - 21:22