BĐT: $\frac{ab}{(a+b)^2}+\frac{bc}{(b+c)^2}+\frac{ca}{(c+a)^2}+k.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}\geq \frac{3}{4}+\frac{k}{3}$
Bài này tớ có ý tưởng dùng S.O.S nhưng được phân nửa thì tắt, ai có ý tưởng giúp mình nửa phần còn lại với:
Bài làm của mình chỉ có nhiêu đây:
$\frac{ab}{(a+b)^2}-\frac{1}{4}+\frac{bc}{(b+c)^2}-\frac{1}{4}+\frac{ca}{(c+a)^2}-\frac{1}{4}+k.\frac{a^2+b^2+c^2}{(a+b+c)^2}-\frac{k}{3}$$\geq 0$
$\Leftrightarrow -(\frac{(a-b)^2}{(a+b)^2}+\frac{(b-c)^2}{(b+c)^2}+\frac{(c-a)^2}{(c+a)^2})+k.\frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$$\geq 0$
Đưa về dạng phân tích cơ sở S.O.S:
$\Leftrightarrow \sum (a-b)^2(\frac{k}{3(a+b+c)^2}-\frac{1}{4(a+b)^2})$$\geq 0$
$S_{c}=\frac{k}{3(a+b+c)^2}-\frac{1}{4(a+b)^2}$
$\Rightarrow$ $S_{b}=\frac{k}{3(a+b+c)^2}-\frac{1}{4(a+c)^2}$
$S_{a}=\frac{k}{3(a+b+c)^2}-\frac{1}{4(b+c)^2}$
Tới đây cho $a=b=c$ hay sao thì ý tưởng vụt tắt, và tớ bí từ hồi chiều tới giờ, ai có ý tưởng tiếp mình với!
