Chủ đề này có 10 trả lời

[thinhthoithuong]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c không âm:

 

$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}+\frac{b^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{c^3}{2c^2-ac+2a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

[25 minutes]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c không âm:

 

$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}+\frac{b^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{c^3}{2c^2-ac+2a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

BĐT đã ch0 sai với $a=b=1, c=2$

[thinhthoithuong]

BĐT đã ch0 sai với $a=b=1, c=2$

ủa, bạn có tính nhầm không?

VT ( 1;1.2) =$\frac{35}{24}$

VP (1;1;2) = $\frac{4}{3}$

Mà $\frac{35}{24}-\frac{4}{3}=\frac{1}{8}>0$

[babystudymaths]

Chứng minh bất đẳng thức sau với mọi a,b,c không âm:

 

$\frac{a^3}{2a^2-ab+2b^2}+\frac{b^3}{2b^2-bc+2c^2}+\frac{c^3}{2c^2-ac+2a^2}\geq \frac{a+b+c}{3}$

Ta có: BĐT tương đương

$\sum \frac{3a^{3}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum (a-\frac{3b^{2}a+a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})\geq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{3b^{2}a+a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\leq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b}{2}(1-\frac{6ab}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})-\sum \frac{a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{2b-a}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})\geq 0$

TH1: Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta dễ dàng chứng minh được $(a-c)S_{b}+(a-b)S_{c}\geq 0,(a-c)S_{b}+(b-c)S_{a}\geq 0$,do $S_{a}+S_{c}\geq 0$,mà a-c $\geq a-b$ nên  $(a-c)S_{b}+(a-b)S_{c}\geq 0,còn (a-c)S_{b}+(b-c)S_{a}\geq 0$ $\Leftrightarrow (2ab+2c^{2}+4ac-5bc)(ab-c^{2})\geq 0$,đúng theo giả thiết.Đây là tiêu chuẩn 4 nên ta có đ.p.c.m

TH2:TH này khó hơn chút,giả sử $a\geq c\geq b$

Ta có ngay $S_{a},S_{b}\geq 0$

Chỉ cần chứng minh $S_{c}+S_{a}\geq 0\Leftrightarrow 2abc+2b^{3}+4bc^{2}+2a^{2}c+2b^{2}c\geq ab^{2}+2ac^{2}+2a^{2}b+3abc$

Lại có $2abc+2a^{2}c\geq 2ac^{2}+2a^{2}b$ và $a\geq 2b\Rightarrow 2a^{2}c\geq b^{2}+3abc\Rightarrow$ nên suy ra $S_{a}+S_{c}\geq 0$,theo tiêu chuẩn 1 ta có đ.p.c.m

Từ đây chứng minh được bài toán,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi babystudymaths: 31-07-2013 - 14:26

[thinhthoithuong]

Ồ, cách giải S.O.S đúng như hướng mình nghĩ, cảm ơn bạn!

Nhưng tiêu chuẩn của bạn thì mình thì hơi ngược trong S.O.S, mình nghiên cứu S.O.S trong sách sáng tạo BĐT của thầy Phạm Kim Hùng nên các tiêu chuẩn thì mình thấy hơi lạ! Nhưng đưa về S.O.S như thế này được thì rất hay!... Mình cũng đưa về S.O.S nhưng cái mẫu của nó thì khủng khiếp!

[babystudymaths]

Ồ, cách giải S.O.S đúng như hướng mình nghĩ, cảm ơn bạn!

Nhưng tiêu chuẩn của bạn thì mình thì hơi ngược trong S.O.S, mình nghiên cứu S.O.S trong sách sáng tạo BĐT của thầy Phạm Kim Hùng nên các tiêu chuẩn thì mình thấy hơi lạ! Nhưng đưa về S.O.S như thế này được thì rất hay!... Mình cũng đưa về S.O.S nhưng cái mẫu của nó thì khủng khiếp!

Trong trường hợp 2 thì tương ứng với tiêu chuẩn 1 đó bạn,trong scsh của a Hùng là a>=b>=c,còn th2 giả sử a>=c>=b nên nó hơi khác bạn ạ ,khi đổi vị trí biến thì các tiêu chuẩn cần phải đổi chút ít ,mà bạn lấy đề này ở đâu mà hay vậy ? 

[ngoctruong236]

Ta có: BĐT tương đương

$\sum \frac{3a^{3}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\geq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum (a-\frac{3b^{2}a+a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})\geq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{3b^{2}a+a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\leq \frac{a+b+c}{2}\Leftrightarrow \sum \frac{b}{2}(1-\frac{6ab}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})-\sum \frac{a(a-b)^{2}}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}}\geq 0\Leftrightarrow \sum (a-b)^{2}(\frac{2b-a}{3(a^{2}+b^{2})+(a-b)^{2}})\geq 0$

TH1: Giả sử $a\geq b\geq c$

Ta dễ dàng chứng minh được $(a-c)S_{b}+(a-b)S_{c}\geq 0,(a-c)S_{b}+(b-c)S_{a}\geq 0$,do $S_{a}+S_{c}\geq 0$,mà a-c $\geq a-b$ nên  $(a-c)S_{b}+(a-b)S_{c}\geq 0,còn (a-c)S_{b}+(b-c)S_{a}\geq 0$ $\Leftrightarrow (2ab+2c^{2}+4ac-5bc)(ab-c^{2})\geq 0$,đúng theo giả thiết.Đây là tiêu chuẩn 4 nên ta có đ.p.c.m

TH2:TH này khó hơn chút,giả sử $a\geq c\geq b$

Ta có ngay $S_{a},S_{b}\geq 0$

Chỉ cần chứng minh $S_{c}+S_{a}\geq 0\Leftrightarrow 2abc+2b^{3}+4bc^{2}+2a^{2}c+2b^{2}c\geq ab^{2}+2ac^{2}+2a^{2}b+3abc$

Lại có $2abc+2a^{2}c\geq 2ac^{2}+2a^{2}b$ và $a\geq 2b\Rightarrow 2a^{2}c\geq b^{2}+3abc\Rightarrow$ nên suy ra $S_{a}+S_{c}\geq 0$,theo tiêu chuẩn 1 ta có đ.p.c.m

Từ đây chứng minh được bài toán,đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

dg y toi đó

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctruong236: 31-07-2013 - 18:11

[Ha Manh Huu]

Trong trường hợp 2 thì tương ứng với tiêu chuẩn 1 đó bạn,trong scsh của a Hùng là a>=b>=c,còn th2 giả sử a>=c>=b nên nó hơi khác bạn ạ ,khi đổi vị trí biến thì các tiêu chuẩn cần phải đổi chút ít ,mà bạn lấy đề này ở đâu mà hay vậy ? 

nhưng mà tôi nói thật ko còn cách nào # à chứ SOS nhìn khiếp quá @@~

[thinhthoithuong]

Trong trường hợp 2 thì tương ứng với tiêu chuẩn 1 đó bạn,trong scsh của a Hùng là a>=b>=c,còn th2 giả sử a>=c>=b nên nó hơi khác bạn ạ ,khi đổi vị trí biến thì các tiêu chuẩn cần phải đổi chút ít ,mà bạn lấy đề này ở đâu mà hay vậy ? 

Mình lấy trong cuốn Sáng tạo BĐT luôn, nếu bạn rảnh, bạn giúp mình luôn một số bất đẳng thức này thử, thường, mình chuyển qua ra được $(a-b),(b-c),(c-a)$ ở mỗi phân thức, nhưng nó không có bình phương, thế là mình nhân tử và mẫu cho $(a-b),(b-c),(c-a)$ lần lượt cho mỗi phân thức, hậu quả thì, cái mẫu rất ư là "đơn giản", ... quy đồng tổng của ba cái $S_{a}, S_{b}, S_{c}$ muốn điên luôn, nếu bạn rảnh, bạn giải giúp mình thử một số bài nữa, mình giờ mới biết S.O.S nên lạc hậu lắm!

Đây là links mấy bài mình còn bí:

@Babystudeymaths giúp mình thử nha:

1)http://diendantoanho...ất-cho-bđt-sau/

2)http://diendantoanho...ất-cho-bđt-sau/

Đây, 2 bài này, cảm ơn bạn nhiều nếu bạn giúp mình!

[babystudymaths]

Mình lấy trong cuốn Sáng tạo BĐT luôn, nếu bạn rảnh, bạn giúp mình luôn một số bất đẳng thức này thử, thường, mình chuyển qua ra được $(a-b),(b-c),(c-a)$ ở mỗi phân thức, nhưng nó không có bình phương, thế là mình nhân tử và mẫu cho $(a-b),(b-c),(c-a)$ lần lượt cho mỗi phân thức, hậu quả thì, cái mẫu rất ư là "đơn giản", ... quy đồng tổng của ba cái $S_{a}, S_{b}, S_{c}$ muốn điên luôn, nếu bạn rảnh, bạn giải giúp mình thử một số bài nữa, mình giờ mới biết S.O.S nên lạc hậu lắm!

Đây là links mấy bài mình còn bí:

@Babystudeymaths giúp mình thử nha:

1)http://diendantoanho...ất-cho-bđt-sau/

2)http://diendantoanho...ất-cho-bđt-sau/

Đây, 2 bài này, cảm ơn bạn nhiều nếu bạn giúp mình!

Hiện giờ mình sắp vào học mất rồi, nhưng nếu có thời gian mình sẽ giúp bạn hết mức,cứ yên tâm nha,mình ít khi quên lắm

[thinhthoithuong]

Hiện giờ mình sắp vào học mất rồi, nhưng nếu có thời gian mình sẽ giúp bạn hết mức,cứ yên tâm nha,mình ít khi quên lắm

Cảm ơn bạn nhiều, mình còn phải học hỏi rất nhiều nữa, mong bạn giúp đỡ, 2 link trên của 2 bài đó, mình vẫn còn nhiều khuất mắt ... hơ hơ, mong bạn giúp đỡ