Chủ đề này có 6 trả lời

[Tungvansoan]

Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn: 

$f(xf(y))+f(yf(x))=2xy;\forall x,y \in R$

[AzAZ09]

Tìm tất cả các hàm số $f: R\rightarrow R$ thỏa mãn: 

$f(xf(y))+f(yf(x))=2xy;\forall x,y \in R$

$f(xf(y)) + f(y(f(x)) = 2xy (1)$

thay $x=y=0$ vào (1) ta được : $f(0)=0$.

Thay $x=y$ vào (1) ta được : $f(xf(x)) = x^{2}$ $(2)$
giả sử $f(a) = f(b)$ , ta chứng minh $a=b$
thật vậy ,nếu $f(a) = f(b)$ ,ta có : $\left\{\begin{matrix}af(a)=af(b) && \\bf(a)=bf(b) & & \end{matrix}\right.$ 

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}f(af(a))=f(af(b)) & & \\f(bf(a))=f(bf(b)) & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a^{2}=f(af(b)) & & \\ b^{2}=f(bf(a)) & & \end{matrix}\right.$ ( do (2))

cộng lại và chú ý từ (1) suy đc a = b .do đó f là hàm đơn ánh

thay $x=1$ vào (2) ta có : $f(f(1))=1\rightarrow f(1)f(f(1))=1 \rightarrow f(f(1).f(f(1)))=f(1)$

do (2) suy ra $(f(1))^{2} =1 \rightarrow \left\{\begin{matrix}f(1)=1 & & \\ f(1)=-1 & & \end{matrix}\right.$

 nếu $f(1)=1$ thay y=1 vào (1) ta được : $f(x)+f(f(x)) =2x\Leftrightarrow f(f(x))=2x-f(x)=x+x-f(x)=x+z$ (3) với $z=x-f(x)$ (4)

từ (4) : $f(x-z)=f(f(x)) =x+z \rightarrow f(x+z)=f(f(x-z))=x-z+z=x \rightarrow f(x)=f(f(x+z))=x+2z$ (5)
từ (4),(5) suy ra z=0 suy ra f(x)=x(t/m)
nếu $f(1)=-1$ làm tượng tự suy ra $f(x)=-x$ (t/m)
vậy các hàm số t/m là $f(x)=x ,f(x)=-x ,$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AzAZ09: 11-08-2013 - 23:50

[Lyer]

Chỗ (4) bạn ghi nhầm rồi kìa bạn!!!

[Idie9xx]

$f(xf(y)) + f(y(f(x)) = 2xy (1)$

thay $x=y=0$ vào (1) ta được : $f(0)=0$.

Thay $x=y$ vào (1) ta được : $f(xf(x)) = x^{2}$ $(2)$
giả sử $f(a) = f(b)$ , ta chứng minh $a=b$
thật vậy ,nếu $f(a) = f(b)$ ,ta có : $\left\{\begin{matrix}af(a)=af(b) && \\bf(a)=bf(b) & & \end{matrix}\right.$ 

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}f(af(a))=f(af(b)) & & \\f(bf(a))=f(bf(b)) & & \end{matrix}\right.$

$\rightarrow$ $\left\{\begin{matrix}a^{2}=f(af(b)) & & \\ b^{2}=f(bf(a)) & & \end{matrix}\right.$ ( do (2))

cộng lại và chú ý từ (1) suy đc a = b .do đó f là hàm đơn ánh

thay $x=1$ vào (2) ta có : $f(f(1))=1\rightarrow f(1)f(f(1))=1 \rightarrow f(f(1).f(f(1)))=f(1)$

do (2) suy ra $(f(1))^{2} =1 \rightarrow \left\{\begin{matrix}f(1)=1 & & \\ f(1)=-1 & & \end{matrix}\right.$

 nếu $f(1)=1$ thay y=1 vào (1) ta được : $f(x)+f(f(x)) =2x\Leftrightarrow f(f(x))=2x-f(x)=x+x-f(x)=x+z$ (3) với $z=x-f(x)$ (4)

từ (4) : $f(x-z)=f(f(x)) =x+z \rightarrow f(x+z)=f(f(x-z))=x-z+z=x \rightarrow f(x)=f(f(x+z))=x+2z$ (5)
từ (4),(5) suy ra z=0 suy ra f(x)=x(t/m)
nếu $f(1)=-1$ làm tượng tự suy ra $f(x)=-x$ (t/m)
vậy các hàm số t/m là $f(x)=x ,f(x)=-x ,$ 

$z_x=x-f(x)$ thì đã chứng minh $z_x=z_{x-z_x}$ đâu

từ (4) : $f(x-z_x)=f(f(x)) =x+z_x \rightarrow f(x+z_x)=f(f(x-z_x))=x-z_x+z_{x-z_x}=x \rightarrow f(x)=f(f(x+z))=x+2z$ (5) ?????

[AzAZ09]

à hỏng rồi
hình như chỗ đó tính ra $f(f(x-z))=2(x-z)-f(x-z)=2(x-z)-x-z=x-3z ?$
xem lại một chút

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi AzAZ09: 12-08-2013 - 23:15

[AzAZ09]

đã xem lại và đã sai?
theo mình biết phương trình $f(x)+f(f(x))=2x$ giải trên tập R+ cũng đã khá khó khăn(có thể là cách giải mình dài)
còn một bài nữa có liên quan : $f(f(x))=2x+f(x)$ trên tập R->R giải rất phức tạp ( cũng có thể là mình chưa đủ trình có cách ngắn hơn chăng?) 
vậy ai có cao kiến xin chỉ giáo?
 

[Lyer]

Mà bạn ơi đề có cho f liên tục ko? Nếu có thì mình có thể giải được còn hông thì chưa ???? @@