Chủ đề này có 5 trả lời

[naruto10459]

a)cho a,b,c>0. chứng minh $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

b)với n là số tự nhiên lớn hơn 1,đặt s=A1+A2+...+An. chứng minh $\sum_{S-Ai}^{S}\geq \frac{n^{2}}{n-1}$

c)cho a,b,c>0. chứng minh $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{c+a}\geq 9$

d)cho a,b,c>0 thỏa a+b+c<$\frac{3}{2}$. tìm giá trị nhỏ nhất của abc+$\frac{1}{abc}$

[letankhang]

 

d)cho a,b,c>0 thỏa a+b+c<$\frac{3}{2}$. tìm giá trị nhỏ nhất của abc+$\frac{1}{abc}$

Câu d phải là $a+b+c\leq \frac{3}{2}$ mới đúng chứ nhỉ :

Ta có : $3\sqrt[3]{abc}\leq a+b+c\leq \frac{3}{2}\Rightarrow abc\leq \frac{1}{8}$

$abc+\frac{1}{abc}=abc+\frac{1}{64abc}+\frac{63}{64abc}$

Áp dụng BĐT Cauchy ta có :

$abc+\frac{1}{64abc}\geq 2.\frac{1}{8}=\frac{1}{4}$

Mà : $\frac{63}{64abc}\geq \frac{63}{64.\frac{1}{8}}=\frac{63}{8}$

$\Rightarrow abc+\frac{1}{abc}\geq \frac{1}{4}+\frac{63}{8}=\frac{65}{8}$

Vậy $GTNN=\frac{65}{8}\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{2}$

[Trang Luong]

a)cho a,b,c>0. chứng minh $\frac{ab}{a+3b+2c}+\frac{bc}{b+3c+2a}+\frac{ca}{c+3a+2b}\leq \frac{a+b+c}{6}$

b)với n là số tự nhiên lớn hơn 1,đặt s=A1+A2+...+An. chứng minh $\sum_{S-Ai}^{S}\geq \frac{n^{2}}{n-1}$

c)cho a,b,c>0. chứng minh $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{c+a}\geq 9$

d)cho a,b,c>0 thỏa a+b+c<$\frac{3}{2}$. tìm giá trị nhỏ nhất của abc+$\frac{1}{abc}$

a) Áp dụng BĐT AM-GM

Ta có :

$\Rightarrow \sum \frac{ab}{a+3b+2c}=\sum \frac{ab}{9}\frac{9}{(a+c)+(c+b)+2b}\leq \sum \frac{1}{9}\left ( \frac{ab}{a+c}+ \frac{ab}{c+b}+\frac{ab}{2b}\right )=\frac{1}{6}(a+b+c)$

[naruto10459]

thêm bài này nữa : cho a,b,c không âm,chứng minh 81($a^{4}+b^{4}+c^{4}$)$\geq (a+2b)^{4}+(b+2c)^{4}+(c+2a)^4$

[Ha Manh Huu]

thêm bài này nữa : cho a,b,c không âm,chứng minh 81($a^{4}+b^{4}+c^{4}$)$\geq (a+2b)^{4}+(b+2c)^{4}+(c+2a)^4$

bài này dễ mà bạn áp dụng bđt $(x+y+z)^2\leq 3(x^2+y^2+z^2)\Rightarrow (x+y+z)^4\leq 9(x^2+y^2+z^2)^2\leq 27(x^4+y^4+z^4)$

ta có $(a+2b)^4=(a+b+b)^4\leq 27(a^4+b^4+b^4)$

tương tự rồi cộng vế ta có đpcm

[buiminhhieu]

c)cho a,b,c>0. chứng minh $\frac{b+c}{a}+\frac{2a+c}{b}+\frac{4(a+b)}{c+a}\geq 9$

Bài này chỉ cần áp dụng cosi

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\geq 2$

$\frac{a+c}{b}+\frac{4b}{a+c}\geq 4$

$1+\frac{c}{a}+\frac{4a}{a+c}=\frac{c+a}{a}+\frac{4a}{a+c}\geq 4$

cộng vế