Chủ đề này có 1 trả lời

[Valar Morghulis]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}^{*}$ thoả:

$\left\{\begin{matrix}f(m)>f(n)\ \forall m,n\in \mathbb{N}^{*}\wedge m>n\\ f(f(n))=4n+9\ \forall n\in\mathbb{N}^{*}\\f(f(n)-n)=2n+9\ \forall n\in \mathbb{N}^{*}\end{matrix}\right.$

 

 

 

 

[nguyenthehoan]

Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{N}^{*}\rightarrow\mathbb{N}^{*}$ thoả:

$\left\{\begin{matrix}f(m)>f(n)\ \forall m,n\in \mathbb{N}^{*}\wedge m>n\\ f(f(n))=4n+9\ \forall n\in\mathbb{N}^{*} (1)\\f(f(n)-n)=2n+9\ \forall n\in \mathbb{N}^{*} (2)\end{matrix}\right.$

Lời giải: Từ (1) thấy ngay $f$ là một đơn ánh.

 

trong (2) thay $n$ bởi $2n$ ta có $f(f(2n)-2n)=4n+9=f(f(n))$,do $f$ đơn ánh nên

 

$f(2n)=f(n)+2n, (3)$

 

Trong (2),tiếp tục thay $n$ bởi $f(n)$ ta có 

 

$f(f(f(n))-f(n))=2f(n)+9$ $\Leftrightarrow f(4n+9-f(n))=2f(n)+9$

 

Lại thay $n$ bởi $f(n)$ vào đây ta có 

 

$ f(4f(n)+9-f(f(n)))=2f(f(n))+9$

 

$\Leftrightarrow f(4f(n)+9-4n-9)=2(4n+9)+9$ $\Leftrightarrow f(4f(n)-4n)=8n+27$  (4)

 

Mặt khác từ (3) ta có $f(4n)=f(2n)+4n=f(n)+6n$

 

Suy ra $f(4(f(n)-n))=f(f(n)-n)+6(f(n)-n)=2n+9+6f(n)-6n$  (5)

 

Từ (4) và (5) ta có ngay $2n+9+6f(n)-6n=8n+27\Rightarrow f(n)=2n+3$

 

Thử lại thoả mãn.Vậy ta có $f(n)=2n+3$