Chủ đề này có 15 trả lời

[tuannguyenhue1]

cho a,b,c là 3 số thực dương thoả mãn a+b+c=3. chứng minh rằng

 

 

$P=\frac{1}{a^{2}-3a+3}+\frac{1}{b^{2}-3b+3}+\frac{1}{c^{2}-3c+3}\leq 3$

 

[nguyencuong123]

Có thể tham khảo tại đây

[bangbang1412]

Đánh giá ở mẫu như thế này $\sum \frac{1}{a^{2}-3a+3}=\sum \frac{1}{(a-1)^{2}+2-a}\leq \sum \frac{1}{2-a}\leq3$

Đến đây chắc quen thuộc rồi ta sẽ chứng minh với a ; b ; c dương và $a+b+c=3$ thì 

                                               $\sum \frac{1}{2-a}\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-08-2013 - 21:14

[tuannguyenhue1]

Không qu

 

Đánh giá ở mẫu như thế này $\sum \frac{1}{a^{2}-3a+3}=\sum \frac{1}{(a-1)^{2}+2-a}\leq \sum \frac{1}{2-a}\leq3$

Đến đây chắc quen thuộc rồi ta sẽ chứng minh với a ; b ; c dương và $a+b+c=3$ thì 

                                               $\sum \frac{1}{2-a}\leq 3$

Không quen lam nốt hộ mình

[bangbang1412]

Thật vậy ta xét trong các mẫu có ít nhất một số âm ; giả sử $a>2$ khi đó $b+c<1$

Ta sẽ chứng minh như sau $\frac{1}{2-b}< \frac{3}{2}<=>2< 6-3b <=>b< \frac{4}{3}$ ( đúng ) 

Cộng với mẫu của c và $\frac{1}{2-a}<0$ nên trong TH này bđt được chứng minh ; bây giờ ta chứng minh cho các mẫu đều dương .

[bangbang1412]

nhưng hình như bất đẳng thức chiều mẫu dương không đúng 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-08-2013 - 21:40

[tuannguyenhue1]

Các mẫu đều dương thì ta có bất đẳng thức như sau $\sum \frac{1}{2-a}\leq \sum a <=> \sum (a-\frac{1}{2-a})\geq 0 <=> \sum \frac{2a-a^{2}}{2-a}\geq 0$ hiển nhiên đúng .

NÓ có phải thế này không $\sum \frac{1}{2-a}\geq \frac{9}{6-a-b-c}\doteq 3$ suy ra đảo dấu bài bạn làm sai có phải vậy không. 

[bangbang1412]

Không phải ; bài đó mình nhầm ; ở các tử của nó còn thêm -1 nữa ; mà có -1 thì bất đẳng thức bị ngược 

[tuannguyenhue1]

nhưng hình như bất đẳng thức chiều mẫu dương không đúng 

Ta có $\sum (a-\frac{1}{2-a})\geq 0 < \doteq> \sum \frac{2a-a^{2}-1}{2-a}$ mới đúng

[bangbang1412]

Mình nghĩ lại thế này bất đẳng thức ban đầu tương đương với $\sum (\frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-3a+3})=\sum \frac{4a^{2}-12a+9}{3(a^{2}-3a+3)}\geq 1 <=> \sum \frac{(2a-3)^{2}}{a^{2}-3a+3}\geq 3$ ; trừ 2 vế cho biểu thức chứa a ta có bất đẳng thức tương đương $\frac{(2b-3)^{2}}{b^{2}-3b+3}+\frac{(2c-3)^{2}}{c^{2}-3c+3}\geq 3-\frac{(4a^{2}-12a+9)}{a^{2}-3a+3}=\frac{3a^{2}-9a+9-4a^{2}+12a-9}{a^{2}-3a+3}=\frac{a(3-a)}{a^{2}-3a+3}$ 

Giả sử $(b+c)^{2}+2-2(b+c)\qeg b^{2}+c^{2}$ ; xong cauchy - schwarz và thay $a=3-b-c$ vào biến đổi tương đương .

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 09-08-2013 - 22:06

[tuannguyenhue1]

Mình nghĩ lại thế này bất đẳng thức ban đầu tương đương với $\sum (\frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-3a+3})=\sum \frac{4a^{2}-12a+9}{3(a^{2}-3a+3)}\geq 1 <=> \sum \frac{(2a-3)^{2}}{a^{2}-3a+3}\geq 3$ ; rồi dùng cauchy - schwarz là đẹp 

Càng sai BĐT đổi chiều đây là 1 BĐT rất chặt bạn à mình đã dùng phương pháp dirichle chặt hơn cauchy - schwarz

mà còn sai

[bangbang1412]

Càng sai BĐT đổi chiều đây là 1 BĐT rất chặt bạn à mình đã dùng phương pháp dirichle chặt hơn cauchy - schwarz

mà còn sai

bạn dirichle từ chỗ mình đi 

[tuannguyenhue1]

bạn dirichle từ chỗ mình đi 

Vốn mình dirichle từ chỗ bạn

[bangbang1412]

Vốn mình dirichle từ chỗ bạn

theo mình thì thiếu rồi ; bdt gốc ở đây http://boxmath.vn/4rum/t59974/

[tuannguyenhue1]

Mình nghĩ lại thế này bất đẳng thức ban đầu tương đương với $\sum (\frac{4}{3}-\frac{1}{a^{2}-3a+3})=\sum \frac{4a^{2}-12a+9}{3(a^{2}-3a+3)}\geq 1 <=> \sum \frac{(2a-3)^{2}}{a^{2}-3a+3}\geq 3$ ; trừ 2 vế cho biểu thức chứa a ta có bất đẳng thức tương đương $\frac{(2b-3)^{2}}{b^{2}-3b+3}+\frac{(2c-3)^{2}}{c^{2}-3c+3}\geq 3-\frac{(4a^{2}-12a+9)}{a^{2}-3a+3}=\frac{3a^{2}-9a+9-4a^{2}+12a-9}{a^{2}-3a+3}=\frac{a(3-a)}{a^{2}-3a+3}$ 

Giả sử $(b+c)^{2}+2-2(b+c)\qeg b^{2}+c^{2}$ ; xong cauchy - schwarz và thay $a=3-b-c$ vào biến đổi tương đương .

mình làm lời giải này lâu rồi mình phải dùng S.O.S kết hợp với hàm lõm mới ra nên đi tham khảo các cách khác hay hơn

[tuannguyenhue1]

theo mình thì thiếu rồi ; bdt gốc ở đây http://boxmath.vn/4rum/t59974/

bạn à đấy là 1 BĐT lỏng còn BĐT của mình đúng và khá chặt