CMR với n lẻ ; n>1 thì $3^{n}+ 1$ không $\vdots n$
#2
Đã gửi 10-08-2013 - 15:56
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
CMR với n lẻ ; n>1 thì $3^{n}+ 1$ không $\vdots n$
Lời giải. Ta sẽ đi chứng minh $n|3^n+1$ khi $n$ chẵn.
Từ $n|3^n+1$ ta suy ra $n|3^{2n}-1$. Gọi $p$ là ước nguyên tố nhỏ nhất của $n$ nên $p|3^{2n}-1$ và $p|3^{p-1}-1$. Và gọi $k$ là số nguyên dương nhỏ nhất thoả mãn $p|3^k-1$. Như vậy $k|2n$ và $k|p-1$.
Nếu $\gcd (n,k) >1$, gọi $r$ là ước nguyên tố của $n,k$. Khi đó $r|n$ và $r|k$ suy ra $r<k$. Lại có $k|p-1$ nên $p>k+1>r$. Cả $p$ và $r$ đều là ước nguyên tố của $n$, mâu thuẫn với điều kiện nhỏ nhất của $p$.
Vậy $\gcd (n,k) =1$ Do đó $k|2$ Ta suy ra $p|2$ hay $2|a$.
- nguyencuong123 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
