Chủ đề này có 2 trả lời

[vuminhhoang]

hôm nay lớp mình thi mấy bài này mà khó quá

 

bài 1. cho $(x_n)$ t/m $x_1 = 3$ và $x_n = \dfrac{n+2}{3n}(x_n+2) \forall n \geq 2$

 

cmr dãy $(x_n)$ có giới hạn, tím g/h đó

 

bài 2. cho a,b,c t/m $1 \leq a,b,c \leq 4$ và $abc \leq 8$.

 

tìm gtll của A=a+b+c

 

bài 3. cho tam giác ABC nội tiếp (O). các đường cao AM và BN. D thuộc cung BC (có chứa A) và khác BC.

 

DA và BN cắt nhau tại Q. DB và AH cắt nhau tại P. Gọi I là trung điểm PQ. CMR I, M, N thẳng hàng

 

bài 4. Cho hai đa thức P(x) và Q(x)với các hệ số nguyên dương và 2 số nguyên dương a,b với a < b.

 

biết P(a) = Q(a), P(b) = Q(b)

 

Chứng minh rằng nếu tất cả các hệ số của P(x) đều nhỏ hơn b thì P(x) = Q(x)

 

Bài 6. Tìm các hàm f(x) liên tục /R t/m

 

f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x).f(y) với x,y thuộc R

 

 

 

Các bạn giải giùm mình câu nào cũng đc nhá, tks trước.

[AzAZ09]

6.$f(x+y)+f(xy)=f(x)+f(y)+f(x).f(y) (1)$

+)Nếu f cần tìm là hàm hằng $\rightarrow f(x)=a (a=const)$ 
thay vào 1 ta có : $2a=3a\rightarrow a=0 (t/m)$
+)Nếu f cần tìm không phải là hàm hằng f(x) khác 0 

thay x=y=0 vào (1): $f(0)=0$

thay y=1 vào (1): $f(x)+f(x+1)=f(x)f(1)+f(x)+f(1)\rightarrow f(x+1)=f(1)(f(x)+1) (2)$

Nếu f(1)=0 ,từ (2) ta có f(x+1)=0 vô lý do f không là hàm hằng
do đó f(1) khác 0 
thay x=-1 vào (2) : $f(1)(f(-1)+1)=0\rightarrow f(-1)=-1$

thay x=y=-1 vào (1) :$f(1)=f^{2}(-1)+2f(-1)-f(-2)=-1-f(-2)$

thay x=-2 vào (2) : $-(f(1))^{2}=-1\rightarrow f(1)=1 orf(1)=-1$

-) Nếu f(1)=-1 
thay y=-1 vào (1) :$f(-x)=-(1+f(x-1))=f(1)(1+f(x-1))=f(x)$

thay x=y vào (1): $f^{2}(x)=f(x^{2})-1f(x)+f(2x)(3)$ 

thay y=-x vào (1) : $f(x^{2})=f^{2}(x)+2f(x)$ thay vào (3) $\Rightarrow f(2x)=0$ vô lý do f không là hàm hằng 
-) Nếu f(1)=1 ,thay vào (2) : $f(x+1)=f(x)+1 $

đến đây là khá dẽ dàng rồi

 

[AzAZ09]

Bài 1 là VMO 2012 rồi.
1.Xét Hiệu : $x_{n}-x_{n-1}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)-x_{n-1}=\frac{2((n+2)-(n-1)x_{n-1})}{3n}$

thử các giá trị đầu tiên , dẫn đến phỏng đoán dãy giảm thực sự.Do đó ta sẽ tìm cách chứng minh $x_{n}-x_{n-1}<0$

Hay $(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$ với mọi $n\geq 3$

xét n=3 bdt đúng
gs :$(n+2)-(n-1)x_{n-1}<0$$\Leftrightarrow x_{n-1}> \frac{n+2}{n-1}$
khi đó : $x_{n}=\frac{n+2}{3n}(x_{n-1}+2)>\frac{n+2}{3n}(\frac{n+2}{n-1}+2)=\frac{n+2}{n-1}> \frac{n+3}{n}$
do đó dãy đã cho là dãy giảm thực sự kể từ số hạng thứ 2.
ngoài ra theo đề bài nó bị chặn dưới ở 0.đặt $limx_{n}=a$

thay vào đề bài tính đc a=1