Chủ đề này có 4 trả lời

[nguyenthehuy]

CMR $\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{27}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Oral1020: 13-08-2013 - 18:28

[nguyentrungphuc26041999]

CMR(X^3+Y^3+Z^3)/3>=(X+Y+Z)^3/27

biến đổi như sau

bđt cần cm trở thành

$9\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{3}$

hay$9\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( x+y+z \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{4}$

ta có sử dụng bđt bcs

$9\left ( x^{3}+y^{3}+z^{3} \right )\left ( x+y+z \right )\geq 9\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )^{2}= \left ( 1+1+1 \right )^{2}\left ( x^{2}+y^{2}+z^{2} \right )\geq \left ( x+y+z \right )^{4}$(đpcm)

lần sau nhớ gõ công thức toán

nhớ  like nha

hay

[ngoctruong236]

Đay chinh la BDT Holder cho 3 so ma ban

[bachhammer]

Mình xin đóng góp một cách giải khá dzui:

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

$(\frac{x}{x+y+z})^{3}+\frac{1}{27}+\frac{1}{27}\geq \frac{1}{3}.\frac{x}{x+y+z}$. Suy ra: $(\frac{x}{x+y+z})^{3}\geq \frac{1}{3}.\frac{x}{x+y+z}-\frac{2}{27}$

Tương tự ta cũng có: $(\frac{y}{x+y+z})^{3}\geq \frac{1}{3}.\frac{y}{x+y+z}-\frac{2}{27}$; $(\frac{z}{x+y+z})^{3}\geq \frac{1}{3}.\frac{z}{x+y+z}-\frac{2}{27}$. Cộng vế theo vế ta được:

$(\frac{x}{x+y+z})^{3}+(\frac{y}{x+y+z})^{3}+(\frac{z}{x+y+z})^{3}\geq \frac{1}{3}.\frac{x+y+z}{x+y+z}-\frac{6}{27}=\frac{1}{9}\Rightarrow \frac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{3}\geq \frac{(x+y+z)^{3}}{27}$.(đpcm)

[Ha Manh Huu]

CMR $\dfrac{x^3+y^3+z^3}{3} \ge \dfrac{(x+y+z)^3}{27}$

1 cách khác

ta có $x^3+x^3+y^3+\geq 3x^2y$ và $x^3+y^3+z^3 \geq 3xyz$

nên $(x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3\sum x^2y+3\sum xy^2+6xyz\leq 9(x^3+y^3+z^3)$ (đpcm) (áp dụng mấy cái kiểu như trên)