Chủ đề này có 1 trả lời

[barcavodich]

CMR

$2^{2^n+1}+3$ không là lập phương của số tự nhiên với mọi $n$ nguyên dương

[yeutoan11]

CMR

$2^{2^n+1}+3$ không là lập phương của số tự nhiên với mọi $n$ nguyên dương

nếu $n lẻ$ thì $2^{2^n+1}+3 \equiv 4 \pmod 7$ không phải là lập phương

nếu $n chẵn$ thì $2^{2^n+1}+3 \equiv 0 \pmod 7$. Ta CM :$v_7(2^{2^n+1}+3) \leq 2$

Dễ kiểm tra đúng với $n=0;2$

Giả sử đúng tới $n=2k$ Khi đó ta có : $2^{2^n+1}+3 = 7^r.q$ với $gcd(q,7)=1 , r  \leq 2$

Với $n=2(k+1)$ Ta có :

$2^{2^n+1}+3= \frac{2^{4(2^{2k}+1)}+24}{8}=\frac{(7^r.q-3)^4+24}{8}$

mà $v_7((7^r.q-3)^4+24) \leq 2$ nên ta có ĐPCM