Chủ đề này có 2 trả lời

[banhgaongonngon]

Xét đa thức $P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0 }$ với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$.

Giả sử $P(x)$ có $n$ nghiệm $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Ký hiệu $\max \left ( x_{i} \right )$ là số lớn nhất trong các số $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Chứng minh rằng

$P(x+\delta ).\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x-x_{i}}\geq 2n^{2}\delta ^{n-1},\forall x> \max\left ( x_{i} \right )$, với $\delta >0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi banhgaongonngon: 15-08-2013 - 15:29

[bangbang1412]

Xét đa thức $P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0 }$ với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$.

Giả sử $P(x)$ có $n$ nghiệm $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Ký hiệu $\max \left ( x_{i} \right )$ là số lớn nhất trong các số $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Chứng minh rằng

$P(x+\delta ).\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x-x_{i}}\geq 2n^{2}\delta ^{n-1},\forall x> \max\left ( x_{i} \right )$, với $\delta >0$.

Ta sẽ chứng minh bài toán sau giả sử đa thức $P(x)$ ban đầu có $n$ nghiệm như trên , khi đó với mọi $x>max x_{i}$ thì bất đẳng thức sau đúng :

                                              $P(x+1)(\sum \frac{1}{x-x_{i}})\geq 2n^{2}$

Do $degP(x)=n$ mà có $n$ nghiệm nên theo định lý $Bezout$ ta có :

                                              $P(x)=\prod (x-x_{i})$

Thay $x$ bằng $x+1$ vào đẳng thức trên và ta có :

                                              $P(x)=\prod (1+x-x_{i})$

Theo bất đẳng thức $AM-GM$ thì ta có : 

                                              $P(x+1)(\sum \frac{1}{x-x_{i}})\geq P(x+1)n\sqrt[n]{\prod \frac{1}{x-x_{i}}}=n\sqrt[n]{\frac{\prod (1+x-x_{i})^{n}}{\prod (x-x_{i})}}$

Bằng quy nạp theo $n$ ta chứng minh được với mọi $t\geq 0$ và $n\geq 2$ thì :

                                              $(1+t)^{n}\geq 2nt$

Do đó ta có bất đẳng thức :   $(1+x-x_{i})^{n}\geq 2n(x-x_{i})$

Do đó ta có đpcm

[phudinhgioihan]

Xét đa thức $P(x)=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0 }$ với $n\in \mathbb{N},n\geq 2$.

Giả sử $P(x)$ có $n$ nghiệm $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Ký hiệu $\max \left ( x_{i} \right )$ là số lớn nhất trong các số $x_{1},x_{2},...,x_{n}$.

Chứng minh rằng

$P(x+\delta ).\sum_{i=1}^{n} \frac{1}{x-x_{i}}\geq 2n^{2}\delta ^{n-1},\forall x> \max\left ( x_{i} \right )$, với $\delta >0$.

 

Chém gió tí cho đêm trung thu thêm mát

 

Do $P(x)$ bậc $n$ có $n$ nghiệm $x_1,...,x_n$ nên $P(x)=\prod_{i=1}^n (x-x_i)$

 

Với $x>\max\; x_i \, \forall i=1..n$ thì $x-x_i>0 \, \forall i=1..n$ , do đó, áp dụng bdt AM-GM, ta được

 

$$P(x+\delta)\sum_{i=1}^n \dfrac{1}{x-x_i} \ge P(x+\delta).n\sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \frac{1}{x-x_i}}=n \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n \dfrac{(x-x_i+\delta)^n}{x-x_i}}$$

 

Do vậy, ta cần phải chứng minh rằng

 

$$n \sqrt[n]{ \prod_{i=1}^n \dfrac{(x-x_i+\delta)^n}{x-x_i} } \ge 2n^2 \delta^{n-1}$$

 

$$\Leftrightarrow \prod_{i=1}^n \dfrac{(x-x_i+\delta)^n}{x-x_i} \ge (2n)^n \delta^{n(n-1)}$$

 

Ta chứng minh: $(x-x_i+\delta)^n \ge 2n \delta^{n-1}(x-x_i)  \, \forall i=1..n$

 

Tổng quát, với mọi số thực không âm $x,y$ và $n\in \mathbb{N}, n \ge 2 $

 

$$(x+y)^n=\sum_{k=0}^n C_n^k x^{n-k}y^k \ge \sum_{k=0}^2 C_n^k x^{n-k}y^k=x^n+nx^{n-1}y+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}y^2 $$

 

$$\ge 2\sqrt{\dfrac{n(n-1)}{2} x^n.x^{n-2}y^2}+nx^{n-1}y \ge 2nx^{n-1}y $$

 

Do $2\sqrt{\dfrac{n(n-1)}{2}} \ge n , \forall n \ge 2 $

 

Vậy ta luôn có $ (x-x_i+\delta)^n \ge 2n \delta^{n-1}(x-x_i)  \, \forall i=1..n$

 

Từ đây suy ra bdt cần chứng minh.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi phudinhgioihan: 19-09-2013 - 17:22