Chủ đề này có 6 trả lời

[nguyentrungphuc26041999]

cho bộ ba số không âm $a,b,c$sao cho$a^{2}+b^{2}+c^{2}= 3$

CMR

$\sum \frac{a}{b+2}\leq 1$

[HungHuynh2508]

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+2}\leq 1$

$\Leftrightarrow a(a+2)(c+2)+b(b+2)(a+2)+c(c+2)(b+2)\leq (a+2)(b+2)(c+2)$

$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq abc+2$

Vì $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt[3]{(abc)^{2}}$

$\Rightarrow abc\leq 1$

$\Leftrightarrow abc+2\leq 3$

Vậy để chứng minh BĐT ta chỉ cần chứng minh $a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq 3$

Thật vậy : Xét $A=3(a+b+c)-3(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$

$= (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)-3(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$

$=(a^{2}-b^{2})(a-c)+(a^{2}-c^{2})(b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b)$

$= (a-c)(a^{2}-c^{2}+c^{2}-b^{2})+(a^{2}-c^{2})(b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b)$

$=(a^{2}-c^{2})(a-c+b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b+a-c)$

Do $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow A\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$

$\Rightarrow$ Đpcm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HungHuynh2508: 16-08-2013 - 11:01

[nguyentrungphuc26041999]

Không mất tính tổng quát giả sử $a\geq b\geq c\geq 0$

Ta có: $a^{2}+b^{2}+c^{2}=3$

BĐT $\Leftrightarrow \sum \frac{a}{b+2}\leq 1$

$\Leftrightarrow a(a+2)(c+2)+b(b+2)(a+2)+c(c+2)(b+2)\leq (a+2)(b+2)(c+2)$

$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq abc+2$

Vì $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt{(abc)^{2}}$

$\Rightarrow abc\leq 1$

$\Leftrightarrow abc+2\leq 3$

Vậy để chứng minh BĐT ta chỉ cần chứng minh $a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq 3$

Thật vậy : Xét $A=3(a+b+c)-3(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$

$= (a^{2}+b^{2}+c^{2})(a+b+c)-3(a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b)$

$=(a^{2}-b^{2})(a-c)+(a^{2}-c^{2})(b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b)$

$= (a-c)(a^{2}-c^{2}+c^{2}-b^{2})+(a^{2}-c^{2})(b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b)$

$=(a^{2}-c^{2})(a-c+b-c)+(c^{2}-b^{2})(a-b+a-c)$

Do $a\geq b\geq c$

$\Rightarrow A\geq 0$

$\Rightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq a+b+c\leq \sqrt{3(a^{2}+b^{2}+c^{2})}=3$

$\Rightarrow$ Đpcm

 

 

chỗ này hơi hơi có vấn đề

$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq abc+2$

Vì $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt{(abc)^{2}}$

$\Rightarrow abc\leq 1$

$\Leftrightarrow abc+2\leq 3$

Vậy để chứng minh BĐT ta chỉ cần chứng minh $a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq 3$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 15-08-2013 - 21:56

[Dung Dang Do]

$ab^2+bc^2+ca^2-abc\le 2$

Giả sử b là số nằm giữa a,c. Khi đó $(b-a)(b-c)\le 0$

Khi đó $ab^2+bc^2+ca^2-abc=b(a^2+c^2)+a(b-a)(b-c)\le b(a^2+c^2) \le 2$

[Yagami Raito]

chỗ này hơi hơi có vấn đề

$\Leftrightarrow a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq abc+2$

Vì $3=a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 3\sqrt{(abc)^{2}}$

$\Rightarrow abc\leq 1$

$\Leftrightarrow abc+2\leq 3$

Vậy để chứng minh BĐT ta chỉ cần chứng minh $a^{2}c+b^{2}a+c^{2}b\leq 3$

Thực ra đoạn này chỉ có vấn đề ở chỗ mình tô đỏ, chắc bạn viết nhầm  phải là $a^2+b^2+c^2 \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$

[Simpson Joe Donald]

Ta có bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

$$a(c+2)(a+2)+b(a+2)(b+2)+c(b+2)(c+2)\le (a+2)(b+2)(c+2) \\ \iff ab^2+bc^2+ca^2\leq 2+abc$$

Từ giả thiết của bài toán, ta có $a(b-c)(a-b)\geq 0$. Nên ${a}^{2}b-a{b}^{2}-{a}^{2}c+abc\geq 0 \iff {a}^{2}b+abc\geq a{b}^{2}+{a}^{2}c$

 Sử dụng bất đẳng thức này ta quy bài toán về chứng minh $2-{a}^{2}b\geq {c}^{2}b$ 

hay là $2\geq b(3-{b}^{2})$

$\iff {b}^{3}-3b+2\geq 0 \\ \iff {(b-1)}^{2}(b+2)\geq 0$

 Bất đẳng thức cuối cùng hiển nhiên đúng nên ta có điều phải chứng minh.

Dấu bằng xảy ra khi $(a,b,c)=(1,1,1)=(\sqrt{2},1,0)$

 

 

[HungHuynh2508]

Thực ra đoạn này chỉ có vấn đề ở chỗ mình tô đỏ, chắc bạn viết nhầm  phải là $a^2+b^2+c^2 \geq 3\sqrt[3]{(abc)^2}$

ừ, viết nhầm. sửa lại rồi