Chủ đề này có 4 trả lời

[bachhammer]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thì ta luôn có:

$\frac{a+b}{a+b+2c}+\frac{b+c}{b+c+2a}+\frac{c+a}{c+a+2b}+\frac{ab+bc+ca}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq 2$

[Lyer]

Do tính thuần nhất nên ta chuẩn hoá cho $$a+b+c=3$$ Ta có BĐT cơ bản sau: $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ Cho nên BĐT cần chứng minh tương đương với $$\frac{3-c}{3+c}+\frac{3-a}{3+a}+\frac{3-b}{3+b}\leq\frac{3}{2}$$$$\Leftrightarrow \frac{3-c}{3+c}-\frac{1}{2}+\frac{3-a}{3+a}-\frac{1}{2}+\frac{3-b}{3+b}-\frac{1}{2}\leq 0$$$$\Leftrightarrow \frac{1-a}{3+a}+\frac{1-b}{3+b}+\frac{1-c}{3+c}\leq 0$$$$\Leftrightarrow \frac{(1-a)(a-3)}{(3+a)(a-3)}+\frac{(1-b)(b-3)}{(3+b)(b-3)}+\frac{(1-c)(c-3)}{(3+c)(c-3)}\leq0$$

Mặt khác nếu $a \geq b \geq c$ thì ta có $$(1-a)(a-3)\geq(1-b)(b-3)\geq(1-c)(c-3) (1)$$

Thật vậy từ (1)$$\Leftrightarrow -3+4a-a^2\geq-3+4b-b^2$$$$\Leftrightarrow b^2-a^2-4(b-a)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(b+a-4)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(3-a-4)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(a+1)\leq0$$(đúng)

Và nếu $a\geq b\geq c$ thì ta cũng có $$\frac{1}{(a+3)(a-3)}\leq \frac{1}{(b+3)(b-3)}\leq \frac{1}{(c+3)(c-3)}$$

Do đó theo Bất đẳng thức Cheybyshev, ta có:$$\sum \frac{(1-a)(a-3)}{(a+3)(a-3)}\leq \frac{1}{3}(\sum (1-a)(a-3))(\sum \frac{1}{(a+3)(a-3)})$$

Mặt khác $$9=(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$$$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq3$$

Nên$$\sum (1-a)(a-3)=4(a+b+c)-9-(a^2+b^2+c^2)\leq12-9-3=0$$

Suy ra ĐPCM Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

[bachhammer]

Do tính thuần nhất nên ta chuẩn hoá cho $$a+b+c=3$$ Ta có BĐT cơ bản sau: $$a^2+b^2+c^2\geq ab+bc+ca$$ Cho nên BĐT cần chứng minh tương đương với $$\frac{3-c}{3+c}+\frac{3-a}{3+a}+\frac{3-b}{3+b}\leq\frac{3}{2}$$$$\Leftrightarrow \frac{3-c}{3+c}-\frac{1}{2}+\frac{3-a}{3+a}-\frac{1}{2}+\frac{3-b}{3+b}-\frac{1}{2}\leq 0$$$$\Leftrightarrow \frac{1-a}{3+a}+\frac{1-b}{3+b}+\frac{1-c}{3+c}\leq 0$$$$\Leftrightarrow \frac{(1-a)(a-3)}{(3+a)(a-3)}+\frac{(1-b)(b-3)}{(3+b)(b-3)}+\frac{(1-c)(c-3)}{(3+c)(c-3)}\leq0$$

Mặt khác nếu $a \geq b \geq c$ thì ta có $$(1-a)(a-3)\geq(1-b)(b-3)\geq(1-c)(c-3) (1)$$

Thật vậy từ (1)$$\Leftrightarrow -3+4a-a^2\geq-3+4b-b^2$$$$\Leftrightarrow b^2-a^2-4(b-a)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(b+a-4)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(3-a-4)\geq0$$$$\Leftrightarrow (b-a)(a+1)\leq0$$(đúng)

Và nếu $a\geq b\geq c$ thì ta cũng có $$\frac{1}{(a+3)(a-3)}\leq \frac{1}{(b+3)(b-3)}\leq \frac{1}{(c+3)(c-3)}$$

Do đó theo Bất đẳng thức Cheybyshev, ta có:$$\sum \frac{(1-a)(a-3)}{(a+3)(a-3)}\leq \frac{1}{3}(\sum (1-a)(a-3))(\sum \frac{1}{(a+3)(a-3)})$$

Mặt khác $$9=(a+b+c)^2\leq3(a^2+b^2+c^2)$$$$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq3$$

Nên$$\sum (1-a)(a-3)=4(a+b+c)-9-(a^2+b^2+c^2)\leq12-9-3=0$$

Suy ra ĐPCM Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c$

Cách này hơi bị dài, chú Toàn thử xài Cauchy ngược dấu xem!!! Hơi bị ngắn đấy...

[Lyer]

Sax Đúng là dài thiệt tại lúc nhìn vào thấy ngay cái chuẩn hóa nên làm thử ấy mà @@

[tim1nuathatlac]

Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c thì ta luôn có:

$\frac{a+b}{a+b+2c}+\frac{b+c}{b+c+2a}+\frac{c+a}{c+a+2b}+\frac{ab+bc+ca}{2(a^{2}+b^{2}+c^{2})}\leq 2$

 

 

$Q.e.D\Leftrightarrow \sum \left ( 1-\frac{2c}{a+b+2c} \right )+\frac{ab+bc+ca}{2\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2} \right )}\leq 2$

 

$\Leftrightarrow 1+\frac{ab+bc+ca}{2\left ( a^{2} +b^{2}+c^{2} \right )}\leq \frac{2c}{a+b+2c}+\frac{2b}{c+a+2b} +\frac{2a}{b+c+2a}$

 

Mặt khác, tiền bối $Cauchy-Schwarz$ lại bảo ta rằng:

 

$VP\geq \frac{\left ( a+b+c \right )^{2}}{a^{2}+b^{2} +c^{2}+ab+bc+ca}=1+\frac{ab+bc+ca}{\sum a^{2}+\sum ab}\geq 1+\frac{\sum ab}{2\sum a^{2}}=VT$

 

Kết thúc chứng minh.$\square$