Chủ đề này có 2 trả lời

[bachhammer]

Tìm hàm f: $\mathbb{N}\rightarrow [0,\infty)$ thoả mãn:

$\left\{\begin{matrix} f(2014^{2})=2014\\\sum_{i=0}^{n}\frac{1}{f(i)+f(i+1)}=f(n+1),\forall n\in \mathbb{N} \end{matrix}\right.$.

 

[Lyer]

Bạn coi tui làm vậy được không nhé!!!

Ta có  $$f(n+1)-f(n)=\sum_{i=0}^{i=n}\frac{1}{f(i)+f(i+1)}-\sum_{i=0}^{i=n-1}\frac{1}{f(i)+f(i+1)}=\frac{1}{f(n)+f(n+1)}$$

Suy ra $$ f^2(n+1)-f^2(n)=1 \forall n\geq1$$

Cho n chạy từ 1 đến n-1, rồi cộng các đẳng thức lại vế theo vế, ta được $$f^2(n)-f^2(1)=1+1+....+1$$ (n -1 số 1)

Suy ra $$f^2(n)-f^2(1)=n-1$$ Thay $n=2014^2-1$ ta được f(0)=0 Từ đó suy ra f(n)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Lyer: 17-08-2013 - 12:28

[bachhammer]

Bạn coi tui làm vậy được không nhé!!!

Ta có  $$f(n+1)-f(n)=\sum_{i=0}^{i=n}\frac{1}{f(i)+f(i+1)}-\sum_{i=0}^{i=n-1}\frac{1}{f(i)+f(i+1)}=\frac{1}{f(n)+f(n+1)}$$

Suy ra $$ f^2(n+1)-f^2(n)=1 \forall n\geq1$$

Cho n chạy từ 1 đến n-1, rồi cộng các đẳng thức lại vế theo vế, ta được $$f^2(n)-f^2(1)=1+1+....+1$$ (n -1 số 1)

Suy ra $$f^2(n)-f^2(1)=\frac{n(n-1)}{2}$$ Nhưng tới khúc này thì khi tui thế $n=2014^2$ thì không xác định được f(1) @@ Tới đây rồi ai cứu dùm!!! Bachhammer xem lại cái giả thiết dùm nhé !^^

 

Này, để bachhammer cứu bồ cho đồng chí: Trên thực tế ta có $f^{2}(n+1)=f^{2}(n)+1=f^{2}(n-1)+2=...=f^{2}(0)+n+1$(*). Trong đăng thức ấy cho $n = 2014^{2}-1$ ta được:

$f^{2}(2014^{2})=2014^{2}+f^{2}(0)\Rightarrow f(0)=0$. Thay vào trong (*) ta được ngay $f(n)=\sqrt{n}$. Thử lại thấy chuẩn... Do đó hàm cần tìm có dạng $f(n)=\sqrt{n}$.