Chủ đề này có 5 trả lời

[Kir]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Kir: 17-08-2013 - 09:52

[naruto10459]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \sum \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

VP phải là 2 lần chứ nhỉ 

[Kir]

VP phải là 2 lần chứ nhỉ 

 Mình quên mất

[naruto10459]

Cho a,b,c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

$\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq 2\sum \sqrt{\frac{c}{a+b}}$

ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{\frac{a}{c}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}$

[naruto10459]

ta có $\sum \sqrt{\frac{a+b}{c}}\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\sum \sqrt{\frac{a}{c}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}\geq \sum \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2(b+c)}}$

cái thứ hai bạn đưa thêm $\frac{1}{\sqrt{2}}\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$ nữa nha,sr mình thiếu 

[Forgive Yourself]

Cách 1: Không mất tính tổng quát, giả sử $a\geq b\geq c>0$   ($1$)

Khi đó ta có $\frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}\geq \frac{1}{\sqrt{b(a+c)}}\geq \frac{1}{a(b+c)}>0$   ($2$)

và $a+b-2c>a+c-2b>b+c-2a$   ($3$)

Từ ($1$) và ($2$) ta có: 

$(a-b)\left ( \frac{1}{\sqrt{b(a+c)}}-\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \right )\geq 0$   ($4$)

$(a-c)\left ( \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}-\frac{1}{\sqrt{a(b+c)}} \right )\geq 0$   ($5$)

$(b-c)\left ( \frac{1}{\sqrt{c(a+b)}}-\frac{1}{\sqrt{b(a+c)}} \right )\geq 0$   ($6$)

Cộng từng vế của ba bất đẳng thức ($4$), ($5$) và ($6$) ta có:

$\frac{a+b-2c}{\sqrt{c(a+b)}}+\frac{b+c-2a}{\sqrt{a(b+c)}}+\frac{a+c-2b}{\sqrt{b(a+c)}}\geq 0$   ($7$)

$\Leftrightarrow \left ( \sqrt{\frac{a+b}{c}}-2\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{b+c}{a}}-2\sqrt{\frac{a}{b+c}} \right )+\left ( \sqrt{\frac{c+a}{b}}-2\sqrt{\frac{b}{a+c}} \right )\geq 0$

Suy ra $đpcm$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $a=b=c$

 

Cách 2:

$\sqrt{x}+\sqrt{y}\leq \sqrt{2(x+y)}$ và $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\geq \frac{4}{x+y}$  ($\forall x,y>0$)

Ta có:

    $\sqrt{\frac{a}{c}+\frac{b}{c}}+\sqrt{\frac{b}{a}+\frac{c}{a}}+\sqrt{\frac{c}{b}+\frac{a}{b}}$

$\geq \frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{c}}+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}}+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{a}} \right )+\frac{1}{\sqrt{2}}\left ( \frac{\sqrt{c}}{\sqrt{b}}+\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \right )$

$=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}} \right )+\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}} +\frac{1}{}\sqrt{c}\right )+\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{2}}\left ( \frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}} \right )$

$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{b}+\sqrt{c}}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{a}+\sqrt{c}}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}$

$\geq \frac{2\sqrt{2a}}{\sqrt{2}(b+c)}+\frac{2\sqrt{2b}}{\sqrt{2}(a+c)}+\frac{2\sqrt{2c}}{\sqrt{2}(a+b)}$

$=2\left ( \sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}} \right )$

Suy ra $đpcm$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a=b=c

 

* Tổng quát:

Cho $n$ số dương $a_1,a_2,a_3,...,a_n$ ($n\geq 2$) và $S=\sum_{i=1}^{n}a_i$ khi đó ta có bất đẳng thức:

$\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{S-a_i}{a_i}}\geq (n-1)\sum_{i=1}^{n}\sqrt{\frac{a_i}{S-a_i}}$

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a_i=a_j ()$\forall i,j=1,2,...,n$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Forgive Yourself: 17-08-2013 - 16:29