Chủ đề này có 4 trả lời

[Juliel]

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} (a+b)\vdots c & & \\ (a^{2}+b^{2})\vdots c^{2}& & \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $a$ chia hết cho $c$ và $b$ chia hết cho $c$

[nguyentrungphuc26041999]

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} (a+b)\vdots c & & \\ (a^{2}+b^{2})\vdots c^{2}& & \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $a$ chia hết cho $c$ và $b$ chia hết cho $c$

$\left\{\begin{matrix} \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\vdots c & \\ a^{2}+b^{2}\vdots c & \end{matrix}\right.$

suy ra $\left\{\begin{matrix} a^{2}\vdots c & \\ b^{2}\vdots c & \end{matrix}\right.$

ta có $\left ( a+b \right )^{2}\vdots c^{2}$

suy ra $a^{2}+b^{2}+2ab\vdots c^{2}$

suy ra $2ab\vdots c^{2}$

suy ra $a^{2}+b^{2}-2ab\vdotsc^{2}$

suy ra $a-b\vdots c$

đến đây ta có $\left\{\begin{matrix} a-b\vdots c & \\ a+b\vdots c & \end{matrix}\right.$

hay $\left\{\begin{matrix} 2a\vdots c & \\ 2b\vdots c & \end{matrix}\right.$

nếu $c\in \left \{ 1,2 \right \}$thì hiển nhiên đúng

nếu $c> 2$

ta có

$a\left ( a+2 \right )\vdots c$

nếu $a+2\vdots c$thì $2a$ không chia hết cho$c$

suy ra  $a\vdots c$

tương tự $b\vdots c$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 17-08-2013 - 12:44

[Juliel]

$\left\{\begin{matrix} \left ( a-b \right )\left ( a+b \right )\vdots c & \\ a^{2}+b^{2}\vdots c & \end{matrix}\right.$

suy ra $\left\{\begin{matrix} a^{2}\vdots c & \\ b^{2}\vdots c & \end{matrix}\right.$

suy ra$a^{2}-b^{2}\vdots c$

suy ra $a^{4}-b^{4}\vdots c^{2}$

cứ như thế

$a^{n}+b^{n}\vdots c^{\frac{n}{2}}$mọi $n$ chẵn

cái này xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} a\vdots c & \\ b\vdots c & \end{matrix}\right.$

Có chắc như thế không nhỉ ? 

[dinhthanhhung]

Cho các số nguyên $a,b,c$ thỏa mãn $\left\{\begin{matrix} (a+b)\vdots c & & \\ (a^{2}+b^{2})\vdots c^{2}& & \end{matrix}\right.$.

Chứng minh rằng $a$ chia hết cho $c$ và $b$ chia hết cho $c$

 

Mình nghĩ là không . Còn đây là giải của mình

Từ giả thiết suy ra : $2ab\vdots c^2$

Vậy : $(a-b)^2\vdots c^2$ hay $a-b\vdots c$

Do đó : $2a,2b\vdots c$(1)

Nếu như $c=2^k.c'$ sẽ có $a,b$ cùng tính chẵn lẻ .

Trường hợp $a,b$ cùng lẻ sai ngay , có thể xét ngay $c=2$ và thấy ngay điều vô lí

Trường hợp $a,b$ cùng chẵn , hay $a=2a'$ ta chia 2 đi và lại có một điều kiện mới , cứ như vậy cho đến khi ta về với trường hợp cùng lẻ .

Vậy $c$ lẻ hay kết hợp với (1) ta có đpcm .

[nguyentrungphuc26041999]

Có chắc như thế không nhỉ ? 

sửa rồi