Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$.
Hỏi a + b có là số chính phương không?
Cho các số nguyên dương a, b, c
Bắt đầu bởi Vu Thuy Linh, 20-08-2013 - 20:37
#2
Đã gửi 20-08-2013 - 21:15
Oral1020
-
- Thành viên
-
- 1225 Bài viết
Thịnh To Tướng
Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$.
Hỏi a + b có là số chính phương không?
Mình cũng không dám chắc lắm 
Giả sử $a+b=k^2$ $(k \ge 2)$
Ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$
$\Longleftrightarrow (a+b)c=ab$
$\Longleftrightarrow k^2c=ab$
$\Longrightarrow ab \vdots k^2$
Mà $(a;b)=1$
$\Longrightarrow a \vdots k^2$ (1)
Tương tự,ta có:
$k^2c \vdots a$
Mà $(a;c)=1$
$\Longrightarrow k^2 \vdots a$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=k^2$
Tương tự,ta có: $b=k^2$
$\Longrightarrow a+b=2k^2$
$\Longleftrightarrow k^2=2k^2$ (vô lí)
Vậy $a+b$ không thể là số chính phương
- LNH yêu thích
"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.
If I feel happy,I do mathematics to keep happy."
Alfréd Rényi
#3
Đã gửi 20-08-2013 - 21:22
LNH
-
- Hiệp sỹ
-
- 581 Bài viết
Bất Thế Tà Vương
Mình cũng không dám chắc lắm
Giả sử $a+b=k^2$ $(k \ge 2)$
Ta có: $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$
$\Longleftrightarrow (a+b)c=ab$
$\Longleftrightarrow k^2c=ab$
$\Longrightarrow ab \vdots k^2$
Mà $(a;b)=1$
$\Longrightarrow a \vdots k^2$ (1)
Tương tự,ta có:
$k^2c \vdots a$
Mà $(a;c)=1$
$\Longrightarrow k^2 \vdots a$ (2)
Từ (1) và (2) suy ra $a=k^2$
Tương tự,ta có: $b=k^2$
$\Longrightarrow a+b=2k^2$
$\Longleftrightarrow k^2=2k^2$ (vô lí)
Vậy $a+b$ không thể là số chính phương
Ở cái đoạn $a \vdots k^2$ em có thể làm gọn hơn bằng cách suy ra $a \geq k^2$ nên $b \leq 0$, vô lí
Với lại đoạn chữ đỏ bị sai
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lenhathoang1998: 20-08-2013 - 21:23
#4
Đã gửi 20-08-2013 - 21:37
canhhoang30011999
-
- Thành viên
-
- 634 Bài viết
Thiếu úy
Cho các số nguyên dương a, b, c đôi một nguyên tố cùng nhau thỏa mãn $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}$.
Hỏi a + b có là số chính phương không?
gt $\Rightarrow a+b= \frac{ab}{c}$$\Rightarrow a+b\notin Z$(vì a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau
#5
Đã gửi 20-08-2013 - 22:03
HungHuynh2508
-
- Thành viên
-
- 222 Bài viết
Thượng sĩ
gt $\Rightarrow a+b= \frac{ab}{c}$$\Rightarrow a+b\notin Z$(vì a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau
cách này nhanh và thú vị đấy... ngồi nghĩ hồi nãy tới giờ, bây giờ nhìn thấy cách làm của bạn mà tự nhủ sao mình ngu đến thế...
- No VND yêu thích
Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!
#6
Đã gửi 21-08-2013 - 12:17
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
gt $\Rightarrow a+b= \frac{ab}{c}$$\Rightarrow a+b\notin Z$(vì a,b,c đôi một nguyên tố cùng nhau
Cái này không hoàn toàn đúng 
.
- canhhoang30011999 yêu thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#7
Đã gửi 21-08-2013 - 16:13
canhhoang30011999
-
- Thành viên
-
- 634 Bài viết
Thiếu úy
Cái này không hoàn toàn đúng
với c=1 thì ta có $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}= 1$$\Rightarrow a=2,b=2$$\Rightarrow VL$
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
