1 reply to this topic

[eatchuoi19999]

Giải phương trình: $\frac{2+\sqrt{x}}{3+\sqrt{1-x}}=\sqrt{x}+\sqrt{1-x}$

 

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Giải

 

ĐK: $0 \leq x \leq 1$

Phương trình ban đầu tương đương:

$2 + \sqrt{x} = 3\sqrt{x} + 3\sqrt{1 - x} + \sqrt{x(1 - x)} + 1 - x$

 

$\Leftrightarrow x - 2\sqrt{x} + 1 = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

 

$\Leftrightarrow (1 - \sqrt{x})^2 = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

 

$\Leftrightarrow \dfrac{1 - x}{1 + \sqrt{x}}(1 - \sqrt{x}) = \sqrt{1 - x} ( 3 + \sqrt{x})$

 

Nhận thấy phương trình có một nghiệm bằng 1

Với $x \neq 1$, chia hai vế của phương trình cho $\sqrt{1 - x}$, ta được:

$\dfrac{\sqrt{1 - x}}{1 + \sqrt{x}}(1 - \sqrt{x}) = 3 + \sqrt{x} \, (\star)$

 

Ta thấy: $VT \leq 1 < 3 \leq VF$. Vì vậy $(\star)$ vô nghiệm. 

Do đó: Phương trình ban đầu có nghiệm duy nhất x = 1.