Cho các số thực $x,y,a,b$ thỏa mãn $x^2-y^2=1$ và $\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a-b}$
Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có
$$\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$$
Lời giải tomeps, 01-05-2024 - 17:09
Từ giả thiết ta có:
$\left(\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}\right)(a-b)=1$
$\Leftrightarrow x^4+y^4-\frac{b}{a}x^4-\frac{a}{b}y^4=1$
Mà: $(x^2-y^2)^2=x^4+y^4-2x^2y^2=1$, nên: $\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2$
$\Leftrightarrow (bx^2-ay^2)^2=0$
$\Leftrightarrow bx^2=ay^2$
Như vậy:
$\left(\frac{x^2}{a}\right)(a-b)=x^2-\frac{b}{a}x^2=x^2-y^2=1$. (theo giả thiết)
Tương tự: $\left(\frac{y^2}{b}\right)(a-b)=1$.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
Đi đến bài viết »Cho các số thực $x,y,a,b$ thỏa mãn $x^2-y^2=1$ và $\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a-b}$
Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có
$$\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$$
Từ giả thiết ta có:
$\left(\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}\right)(a-b)=1$
$\Leftrightarrow x^4+y^4-\frac{b}{a}x^4-\frac{a}{b}y^4=1$
Mà: $(x^2-y^2)^2=x^4+y^4-2x^2y^2=1$, nên: $\frac{b}{a}x^4+\frac{a}{b}y^4=2x^2y^2$
$\Leftrightarrow (bx^2-ay^2)^2=0$
$\Leftrightarrow bx^2=ay^2$
Như vậy:
$\left(\frac{x^2}{a}\right)(a-b)=x^2-\frac{b}{a}x^2=x^2-y^2=1$. (theo giả thiết)
Tương tự: $\left(\frac{y^2}{b}\right)(a-b)=1$.
Từ đó ta có điều phải chứng minh.
"Tôi sẽ không đi khom."
|
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tài liệu đại số cho Olympic sinh viênBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, Hôm qua, 02:37 đại số, tài liệu và . |
|
||
Toán Đại cương →
Tài liệu, chuyên đề Toán cao cấp →
TÀI LIỆU CHO OLYMPIC SINH VIÊNBắt đầu bởi dungbruhbruh12345, Hôm qua, 02:35 đại số, chuyên đề, tài liệu và . |
|
|||
Toán Trung học Cơ sở →
Đại số →
Tính $A =\frac{2x_{1}^{2}+3x_{1}x_{2}+3x_{2}^{2}}{x_{1}^{3}x_{2}+x_{1}x_{2}^{3}}$Bắt đầu bởi aZO, 15-05-2024 đại số |
|
|||
Solved
Toán Trung học Cơ sở →
Số học →
$a^2 + b^2 + 1 = c!$Bắt đầu bởi Khanh369, 08-05-2024 đại số, giai thừa |
|
|||
Toán Đại cương →
Đại số tuyến tính, Hình học giải tích →
Tại sao không phải mọi tập sinh có 3 phần tử là tập cơ sởBắt đầu bởi Lyua My, 21-01-2024 đại số |
|
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh