Chủ đề này có 3 trả lời

[nhjm nhung]

Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2

 

 

[nguyentrungphuc26041999]

xét $n=2^{k}.q$ trong đó $q$ là số lẻ

ta có $2^{n}+1=2^{2^{k}q}+1= \left ( 2^{2^{k}} \right )^{q}+1\vdots \left ( 2^{2^{k}}+1 \right )$

vì $q$ lẻ

đến đây chia trường hợp ra là được

nếu $k\geq 1$ thì là hợp số

k=0 cụng sai luôn

nên $q=1$

khi đó $n= 2^{k}$

lưu ý là số có dạng này là số nguyên tố chứ không phải mọi $n$ đâu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 25-08-2013 - 16:22

[canhhoang30011999]

Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2

giả sử n ko là lũy thừa của 2 thì n có dạng $n= 2^{k}m$$\left ( m,k \in N\right )$, m lẻ

$\Rightarrow 2^{n}+1= 2^{2^{k}m}+1$$= \left ( 2^{2^{k}} \right )^{m}+1\vdots 2^{2^{k}}+1$ do m lẻ

=> VL

vậy n là lũy thừa của 2

[NLBean]

Nếu n có một ước nguyên tố khác 2 thì ước số ấy lẻ và có dạng $2k+1 , k \in N$

Do đó : $n = p(2k+1)

Ta có : $2^{n} + 1 = (2^{p})^{2k+1} = (2^{p} + 1)(\sum_{i=1}^{k}2^{p_{i}} - \sum_{i=1}^{k}2^{p_{i} -1})$, không là số nguyên tố , VÔ LÝ

Do đó n không có một ước nguyên tố nào khác 2 . Vậy n là một lũy thừa của 2