Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2
xét $n=2^{k}.q$ trong đó $q$ là số lẻ
ta có $2^{n}+1=2^{2^{k}q}+1= \left ( 2^{2^{k}} \right )^{q}+1\vdots \left ( 2^{2^{k}}+1 \right )$
vì $q$ lẻ
đến đây chia trường hợp ra là được
nếu $k\geq 1$ thì là hợp số
k=0 cụng sai luôn
nên $q=1$
khi đó $n= 2^{k}$
lưu ý là số có dạng này là số nguyên tố chứ không phải mọi $n$ đâu
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyentrungphuc26041999: 25-08-2013 - 16:22
Chứng minh rằng nếu $2^{n}+1$ là số nguyên tố thì $n$ là lũy thừa của 2
giả sử n ko là lũy thừa của 2 thì n có dạng $n= 2^{k}m$$\left ( m,k \in N\right )$, m lẻ
$\Rightarrow 2^{n}+1= 2^{2^{k}m}+1$$= \left ( 2^{2^{k}} \right )^{m}+1\vdots 2^{2^{k}}+1$ do m lẻ
=> VL
vậy n là lũy thừa của 2
Nếu n có một ước nguyên tố khác 2 thì ước số ấy lẻ và có dạng $2k+1 , k \in N$
Do đó : $n = p(2k+1)
Ta có : $2^{n} + 1 = (2^{p})^{2k+1} = (2^{p} + 1)(\sum_{i=1}^{k}2^{p_{i}} - \sum_{i=1}^{k}2^{p_{i} -1})$, không là số nguyên tố , VÔ LÝ
Do đó n không có một ước nguyên tố nào khác 2 . Vậy n là một lũy thừa của 2
~~~~~~~
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh