Chủ đề này có 5 trả lời

[Near Ryuzaki]

Cho 3 số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

[Zaraki]

Cho 3 số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh $$x^2+y^2+z^2+2 \sqrt x+ 2 \sqrt y + 2 \sqrt z \ge 9$$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \sqrt x+ \sqrt y \ge 3x$. Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z=1$.

[pham thuan thanh]

Lời giải. Bất đẳng thức tương đương với việc chứng minh $$x^2+y^2+z^2+2 \sqrt x+ 2 \sqrt y + 2 \sqrt z \ge 9$$

Thật vậy, áp dụng BĐT AM-GM ta có $x^2+ \sqrt x+ \sqrt y \ge 3x$. Tương tự rồi cộng lại ta có đpcm.

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $x=y=z

nhầm ở chỗ này

[laiducthang98]

Chỗ đó phải là $x^2+\sqrt{x}+\sqrt{x}\geq 3x$ chứ ?? 

[PTKBLYT9C1213]

Cho 3 số thực dương có tổng bằng 3. Chứng minh rằng 

$\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}\geq xy+yz+xz$

Ta có: $2(ab+bc+ca)=(a+b+c)^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Ta phải chứng minh $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 9$

Sử dụng BĐT AM-GM ta có:

$a^{2}+\sqrt{a}+\sqrt{a}\geq 3a$

$b^{2}+\sqrt{b}+\sqrt{b}\geq 3b$

$c^{2}+\sqrt{c}+\sqrt{c}\geq 3c$

Vậy $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c})\geq 3(a+b+c)=9$

[laiducthang98]

Bài này có ở đây rồi nhé : http://diendantoanho...qrtzgeq-xyyzzx/