2 replies to this topic

[HungHuynh2508]

Giải hệ phương trình sau bằng bất đẳng thức:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=2 \\ \sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}=4 \end{matrix}\right.$

 

[Juliel]

Giải hệ phương trình sau bằng bất đẳng thức:

$\left\{\begin{matrix} \sqrt{x}+\sqrt{y}=2 \\ \sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}=4 \end{matrix}\right.$

Áp dụng BĐT $Minkowski$ :

$$\sqrt{x+3}+\sqrt{y+3}\geq \sqrt{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^{2}+(\sqrt{3}+\sqrt{3})^{2}}=\sqrt{2^{2}+(2\sqrt{3})^{2}}=4$$

Đằng thức xảy ra khi $x=y=1$. Đó cũng là nghiệm của hệ

Edited by Juliel, 31-08-2013 - 11:36.

[Phạm Hữu Bảo Chung]

Cách 2

Giải

ĐK: $x, y \geq 0$

Đặt $\sqrt{x} + \sqrt{y} = S; \sqrt{xy} = P \, (S, P \geq 0, S^2 \geq 4P)$

Khi đó, hệ ban đầu trở thành::

$\left\{\begin{matrix} S=2 \\ x + y + 6 + 2\sqrt{xy + 3(x + y) + 9} = 16\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2 \\ S^2 - 2P + 6 + 2\sqrt{P + 3(S^2 - 2P) + 9} = 16\end{matrix}\right.$

 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} S=2 \\ \sqrt{-5P + 21} = P + 3\end{matrix}\right. $

 

Phần còn lại thì được rồi nhỉ?