Cho $p,q$ là số nguyên tố, $q>2$ $x$ là số nguyên dương sao cho $p \nmid x-1$ và $p|x^q-1$.
Chứng minh $p|(x+1)(x^2+1)(x^3+1) \cdots (x^{q-1}+1)-1$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Jinbe: 01-09-2013 - 08:33
#1
Đã gửi 01-09-2013 - 08:01
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
- Yagami Raito và LNH thích
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#2
Đã gửi 01-09-2013 - 08:22
bangbang1412
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 1670 Bài viết
Độc cô cầu bại
Trước hết bằng phương pháp quy nạp ta tính được :
$\prod_{k=1}^{q-1}(x^{k}+1) -1=\sum_{k=0}^{\frac{q(q-1)}{2}-1}x^{\frac{q(q-1)}{2}-k}$
Ta sẽ chứng minh :
$\sum_{k=0}^{\frac{q(q-1)}{2}-1}x^{\frac{q(q-1)}{2}-k}\equiv \sum_{k=0}^{q-2}x^{q-1-k}+1(modp)$
Điều này tương đương với :
$\sum_{k=q}^{\frac{q(q-1)}{2}}x^{k}\equiv 1(modp)$
Nó tương đương với :
$\sum_{k=q+1}^{\frac{q(q-1)}{2}}x^{k}\equiv 0(modp)$
Khi mà :
$\sum_{k=q+1}^{\frac{q(q-1)}{2}}x^{\frac{q(q-1)}{2}-k}\equiv 0(modp)$
Do $x-1$ không chia hết cho $p$ nguyên nó nên $(x-1,p)=1$ ; nên ta có thể nhân 2 vế với $x-1$ khi đó ta cần chứng minh .
$x^{\frac{q(q-1)}{2}-q}\equiv 1(modp)$
Hiển nhiên đúng theo giả thiết và $q$ nguyên tố nên lẻ .
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bangbang1412: 02-09-2013 - 13:00
- Zaraki, Yagami Raito, tieutuhamchoi98 và 2 người khác yêu thích
$$[\Psi_f(\mathbb{1}_{X_{\eta}}) ] = \sum_{\varnothing \neq J} (-1)^{\left|J \right|-1} [\mathrm{M}_{X_{\sigma},c}^{\vee}(\widetilde{D}_J^{\circ} \times_k \mathbf{G}_{m,k}^{\left|J \right|-1})] \in K_0(\mathbf{SH}_{\mathfrak{M},ct}(X_{\sigma})).$$
#3
Đã gửi 01-09-2013 - 12:25
Zaraki
-
- Phó Quản lý Toán Cao cấp
-
- 4273 Bài viết
PQT
Đề bài có đúng không bạn ; ví dụ $x=5$ thì $5-1$ không chia hết cho $3$ ( tức $p=3$)
Chọn $q=2$ thì $5^{2}-1=24$ chia hết cho $3$
Nhưng $(5+1)(5+1)-1$ đâu chia hết cho 3
Đã chỉnh lại, cảm ơn bạn.
Discovery is a child’s privilege. I mean the small child, the child who is not afraid to be wrong, to look silly, to not be serious, and to act differently from everyone else. He is also not afraid that the things he is interested in are in bad taste or turn out to be different from his expectations, from what they should be, or rather he is not afraid of what they actually are. He ignores the silent and flawless consensus that is part of the air we breathe – the consensus of all the people who are, or are reputed to be, reasonable.
Grothendieck, Récoltes et Semailles (“Crops and Seeds”).
#4
Đã gửi 05-09-2013 - 13:56
nguyenta98
-
- Hiệp sỹ
-
- 1259 Bài viết
Thượng úy
Trước hết bằng phương pháp quy nạp ta tính được :
$\prod_{k=1}^{q-1}(x^{k}+1) -1=\sum_{k=0}^{\frac{q(q-1)}{2}-1}x^{\frac{q(q-1)}{2}-k}$
Dòng này hình như có vấn đề đấy bạn, 
thử xem lại nhé, khai triênt cái này không đơn giản như vậy, theo mình là thế, hơn nữa mỗi phần tử dạng $x^{\frac{q(q-1)}{2}-k}$ có thể lặp nhiều lần (phụ thuộc vào k) nữa
- Zaraki yêu thích
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh
